וידאו · נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית
א3. ניגזרות טכניקה מעריכית לוגריתמית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בטכניקות נגזרת של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, תוך דגש על תחום ההגדרה והנוסחאות החשובות לנגזרת של פונקציית הלוגריתם הטבעי.
- להכיר את תחום ההגדרה של פונקציות לוגריתמיות עם ביטויים מרוכבים
- ליישם את חוקי הנגזרת על פונקציות לוגריתמיות ומעריכיות
- להבין וליישם את כללי הנגזרת של בניית פונקציות מורכבות עם חזקה ומקדמים
- לזהות טעויות נפוצות בתחום התחום והנגזרת
- לתרגל כתיבת משוואות נגזרת בצורה נכונה ולנקות טעויות כתיב
- תחום הגדרה לפונקציות לוגריתמיות: הסבר על חשיבות תחום ההגדרה לפונקציות לוגריתמיות. התוכן בתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי בלבד, ולכן יש לבדוק ביטויים כמו x, x בריבוע מינוס 1, x בריבוע מינוס 4 כדי לקבוע את תחום ההגדרה המתאים.
- חישוב נגזרות פונקציות הלוגריתם: הסבר על דרך החישוב של נגזרת פונקציית הלוגריתם הטבעי, שימוש בחוק השרשרת והשלבים השונים בנגזרת כאשר יש פונקציה פנימית מורכבת עם מקדם וחזקה.
תרגול קצר
נגזרת של ln(x)
רמת קושי: קל
גזור את הפונקציה f(x) = ln(x) וקבע את תחום ההגדרה של הפונקציה.
רמז: נגזרת ln(x) היא 1 חלקי x, ותחום ההגדרה הוא x > 0.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = 1/x, תחום ההגדרה: x>0
הנגזרת של ln(x) היא 1/x. תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x>0 כדי שהתוכן של הלוגריתם יהיה חיובי.
נגזרת של ln(x בריבוע - 1)
רמת קושי: בינוני
גזור את הפונקציה f(x) = ln(x^2 - 1) וקבע את תחום ההגדרה שלה.
רמז: תחום ההגדרה הוא כאשר הביטוי בתוך הלוגריתם חיובי, x^2 - 1 > 0. השתמש בכלל השרשרת לנגזרת.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = 2x/(x^2 - 1), תחום ההגדרה: x < -1 או x > 1
תחום ההגדרה: x^2 - 1 > 0, כלומר x > 1 או x < -1. הנגזרת: f'(x) = (1 / (x^2 - 1)) * (2x) = 2x / (x^2 - 1).
נגזרת של 5 ln(3 x^2 - 1)
רמת קושי: מאתגר
גזור את הפונקציה f(x) = 5 ln(3 x^2 - 1) וקבע את תחום ההגדרה שלה.
רמז: תחום ההגדרה הוא 3 x^2 - 1 > 0, השתמש בכלל השרשרת והמקדם 5.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = 30x/(3 x^2 - 1), תחום ההגדרה: x < -√(1/3) או x > √(1/3)
תחום ההגדרה: 3 x^2 -1 > 0 ⇨ x^2 > 1/3 ⇨ x > sqrt(1/3) או x < -sqrt(1/3). הנגזרת: f'(x) = 5 * (1/(3 x^2 - 1)) * (6x) = 30x/(3 x^2 - 1).
נגזרת ln(x^3)
רמת קושי: בגרות
חשב את הנגזרת של הפונקציה f(x) = ln(x^3) וציין את תחום ההגדרה שלה.
רמז: השתמש בתכונת חזקת הלוגריתם: ln(x^3) = 3 ln(x), וכך פשט את הפונקציה לפני הגזירה.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = 3/x, תחום ההגדרה: x > 0
f(x) = ln(x^3) = 3 ln(x) הנגזרת היא f'(x) = 3 * (1/x) = 3/x. תחום ההגדרה: x > 0.
דרך הפתרון
נגזרת ln(x^2 - 1)
תרשים זרימה לפתרון נגזרת וקביעת תחום הגדרה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא f'(x) - נגזרת הפונקציה / תחום ההגדרה של הפונקציה
- נתון 1
נתון 1
f(x) = ln(x^2 - 1) - רעיון
הרעיון המרכזי
קודם נקבע את תחום ההגדרה על ידי תנאי חיוביות התוכן, אחר כך נחשב את הנגזרת בעזרת כלל השרשרת.
- נוסחה
פשט את הביטוי שהתקבל לנוסחה פשוטה יותר.
f'(x) = 2x/(x^2 -1)f'(x) = 2x / (x^2 - 1)f'(x) = (2x)/(x^(2) - 1) - משוואה
נשתמש בכלל השרשרת ונקבע את הנגזרת של ln(u) כפונקציה של u(x).
נשתמש בכלל השרשרת ונקבע את הנגזרת של ln(u) כפונקציה של u(x).
f'(x) = 1/(x^2 - 1) * 2xf'(x) = 1/(x^2 -1) * (2x)f'(x) = (1)/(x^(2)-1) x 2x - פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
נסכם את התשובה המלאה הכוללת תחום הגדרה ונגזרת.
- בדיקה
בדיקה קצרה
- זיהוי הביטוי בתוך הלוגריתם
- הבנת תחום ההגדרה כחיוביות הביטוי בתוך הלוגריתם
- זהירות: אי בדיקת תחום ההגדרה לפני הגזירה
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת הפונקציה והתחום
זיהוי נתונים
הגדרת הפונקציה והתחום
מה עושים
הפונקציה היא ln של ביטוי x^2 - 1.
למה
הלוגריתם מוגדר רק כאשר הביטוי בתוך הלוגריתם חיובי.
נתמקד ב- x^2 - 1 > 0 כדי לקבוע תחום הגדרה כולל.
2בחירת שיטה
קביעת תחום ההגדרה
בחירת שיטה
קביעת תחום ההגדרה
מה עושים
פתור את x^2 - 1 > 0 כדי לקבל את תחום ההגדרה.
למה
דרך זו מבטיחה שהתוכן של הלוגריתם יהיה חיובי, נסמן תחום זה כפלט הפונקציה.
x^2 -1 > 0 ⇨ x>1 או x< -1, אז אלו ערכי x המותרים.
לזכור למעט את נקודות האפס מהתחום.
3בניית משוואה
כתיבת הנגזרת לפי כלל השרשרת
בניית משוואה
כתיבת הנגזרת לפי כלל השרשרת
מה עושים
נשתמש בכלל השרשרת ונקבע את הנגזרת של ln(u) כפונקציה של u(x).
למה
בגלל שמדובר בלוגריתם של פונקציה פנימית, יש להכפיל בנגזרת הפנימית.
f'(x) = 1/(x^2 -1) כפול נגזרת (x^2 -1).
נוסחה / הצבה
f'(x) = 1/(x^2 - 1) * 2xf'(x) = 1/(x^2 -1) * (2x)f'(x) = (1)/(x^(2)-1) x 2xלהקפיד על כלל השרשרת ולחשב את הנגזרת הפנימית.
4פתרון
פישוט הביטוי לנגזרת סופית
פתרון
פישוט הביטוי לנגזרת סופית
מה עושים
פשט את הביטוי שהתקבל לנוסחה פשוטה יותר.
למה
כדי לקבל נוסחה נוחה לשימוש בהמשך ולקריאה טובה יותר.
f'(x) = 2x / (x^2 -1).
נוסחה / הצבה
f'(x) = 2x/(x^2 -1)f'(x) = 2x / (x^2 - 1)f'(x) = (2x)/(x^(2) - 1)לזכור פישוט שברים וכתיבה מסודרת.
5תשובה
תרגום התוצאות לתשובה סופית
תשובה
תרגום התוצאות לתשובה סופית
מה עושים
נסכם את התשובה המלאה הכוללת תחום הגדרה ונגזרת.
למה
כדי שיהיה ברור מהי פונקציית המשנה ומהן המגבלות שלה.
f'(x) = 2x/(x^2 -1), תחום ההגדרה: x < -1 או x > 1.
פתרונות כלליים
- נגזרת של ln(x): הנגזרת של ln(x) היא 1/x. תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x>0 כדי שהתוכן של הלוגריתם יהיה חיובי.
- נגזרת של ln(x בריבוע - 1): תחום ההגדרה: x^2 - 1 > 0, כלומר x > 1 או x < -1. הנגזרת: f'(x) = (1 / (x^2 - 1)) * (2x) = 2x / (x^2 - 1).
- נגזרת של 5 ln(3 x^2 - 1): תחום ההגדרה: 3 x^2 -1 > 0 ⇨ x^2 > 1/3 ⇨ x > sqrt(1/3) או x < -sqrt(1/3). הנגזרת: f'(x) = 5 * (1/(3 x^2 - 1)) * (6x) = 30x/(3 x^2 - 1).
- נגזרת ln(x^3): f(x) = ln(x^3) = 3 ln(x) הנגזרת היא f'(x) = 3 * (1/x) = 3/x. תחום ההגדרה: x > 0.