וידאו · נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית
א4. ניגזרות טכניקה מעריכית לוגריתמית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- הסבר על נגזרת פונקציות באמצעות טכניקות שונות - מעריכית, לוגריתמית וטריגונומטרית, עם התמקדות בהבדלים בין הפונקציות והשימוש בכלל השרשרת בנגזרת פונקציות מורכבות.
- להבין כיצד לגזור פונקציות מעריכיות.
- להכיר את נגזרת הפונקציה הלוגריתמית.
- לגזור פונקציות טריגונומטריות בשילוב כלל השרשרת.
- לזהות את חלקי הפנימית והחיצונית בפונקציות מורכבות.
- לתרגל פתרון של נגזרות עם פונקציות רבות שכבות.
- הגדרת הנגזרת בטכניקה מעריכית: סביר כיצד לגזור פונקציה מעריכית המכילה חזקות ומשתנה בתוך פונקציית מעריכית.
- כלל השרשרת בפונקציות מורכבות: הבהרת התהליך המורכב של נגזרת של פונקציות המכילות פונקציות אחרות בתוךן וכן הדגמה על פונקציות ריבוע ופונקציית למ (לוגריתם טבעי).
תרגול קצר
נגזרת של פונקציה מעריכית פשוטה
רמת קושי: קל
גזור את הפונקציה y = x^6.
רמז: השתמש בכלל החזקה: נביא את החזקה כמקדם ונחסר 1 מהחזקת x.
פתרון מלא
תשובה סופית: 6x^5
d/dx x^6 = 6 * x^(6-1) = 6x^5
נגזרת פונקציה מעריכית עם כלל השרשרת
רמת קושי: בינוני
גזור את הפונקציה y = (x^4)^6.
רמז: פשט קודם את החזקה על ידי כפל, או השתמש בכלל השרשרת: נגזרת החיצונית כפול נגזרת הפנימית.
פתרון מלא
תשובה סופית: 24x^{23}
y = x^(4*6) = x^{24} לכן, d/dx y = 24 * x^{23}
נגזרת פונקציה לוגריתמית מורכבת
רמת קושי: מאתגר
גזור את הפונקציה y = ln(1/x).
רמז: השתמש בכלל הלוגריתם: ln(1/x) = -ln(x) ואז נגזור.
פתרון מלא
תשובה סופית: -1/x
ln(1/x) = -ln(x) d/dx(-ln(x)) = -1/x = -1/x
בעיית נגזרת פונקציה מעריכית עם פונקציה פנימית
רמת קושי: בגרות
גזור את הפונקציה y = (x^3 - 2x)^5.
רמז: השתמש בכלל השרשרת: נגזרת החיצונית כפול נגזרת הפנימית.
פתרון מלא
תשובה סופית: 5(x^3 - 2x)^4 (3x^2 - 2)
הגדר u = x^3 - 2x אז y = u^5 d/dx y = 5u^4 * d/dx u = 5(x^3 - 2x)^4 * (3x^2 - 2)
דרך הפתרון
פתרון נגזרת של פונקציה מעריכית עם כלל השרשרת
y = (x^4)^6
מפת פתרון
- מטרה
למצוא נגזרת y לפי x
- נתון 1
נתון 1
y = (x^4)^6 - נתון 2
משתנה x
- רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בכלל החזקה והשרשרת כדי לגזור פונקציה מעריכית עם פונקציה פנימית.
- נוסחה
d/dx y = 24 * x^{23}
d/dx x^n = n*x^(n-1)d/dx[x^n] = n*x^(n-1)(d)/(dx) x^(n) = n x^(n-1) - משוואה
y = x^{24}
y = x^{24}
- פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
d/dx y = 24 x^{23}
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציה הנתונה
זיהוי נתונים
הפונקציה הנתונה
מה עושים
הפונקציה היא y = (x^4)^6
למה
זיהוי הפונקציה שמבקשים לגזור
התבססות על פונקציית מעריך שמורכבת מ-x בחזקה כפולה.
2בחירת שיטה
פשט את הפונקציה
בחירת שיטה
פשט את הפונקציה
מה עושים
נשתמש בחוק חזקות כדי לפשט (x^4)^6 ל-x^{24}
למה
הפשטה מקלה על הגזירה
כפילות החזקות מתאפשרת על ידי חיבור המעריכים.
נוסחה / הצבה
(x^a)^b = x^(a*b)(x^(a))^(b) = x^(a x b)לדעת לשלב חזקות באופן נכון.
3בניית משוואה
כתוב פונקציית גזירה פשוטה
בניית משוואה
כתוב פונקציית גזירה פשוטה
מה עושים
y = x^{24}
למה
מאפשר נגזרת ישירה וקלה
ביטוי חד ערכי של y כדי לגזור בקלות
4פתרון
גזור את הפונקציה
פתרון
גזור את הפונקציה
מה עושים
d/dx y = 24 * x^{23}
למה
חישוב בסיסי של נגזרת חזקות
הורדת החזקה כמקדם והפחתת החזקה ב-1
נוסחה / הצבה
d/dx x^n = n*x^(n-1)d/dx[x^n] = n*x^(n-1)(d)/(dx) x^(n) = n x^(n-1)זכור להפחית את החזקה.
5תשובה
כתיבת התוצאה הסופית
תשובה
כתיבת התוצאה הסופית
מה עושים
d/dx y = 24 x^{23}
למה
זוהי הנגזרת של הפונקציה הנתונה
סיימנו את הפתרון בנגזרת מפושטת להמשך שימוש
פתרונות כלליים
- נגזרת של פונקציה מעריכית פשוטה: d/dx x^6 = 6 * x^(6-1) = 6x^5
- נגזרת פונקציה מעריכית עם כלל השרשרת: y = x^(4*6) = x^{24} לכן, d/dx y = 24 * x^{23}
- נגזרת פונקציה לוגריתמית מורכבת: ln(1/x) = -ln(x) d/dx(-ln(x)) = -1/x = -1/x
- בעיית נגזרת פונקציה מעריכית עם פונקציה פנימית: הגדר u = x^3 - 2x אז y = u^5 d/dx y = 5u^4 * d/dx u = 5(x^3 - 2x)^4 * (3x^2 - 2)