וידאו · נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית
א2. ניגזרות טכניקה מעריכית לוגריתמית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מדגים כיצד לגזור פונקציות עם טכניקות מעריכיות ולוגריתמיות, בדגש על שימוש נכון בנגזרת וחוקים חשובים, תוך פירוק השלבים ושימוש בלוג עם בסיסים שונים.
- הבנת חוקי הגזירה לפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
- פירוק פונקציות מורכבות לגזירה נכונה
- יישום נגזרת הלוגריתם והנגזרת הפנימית
- שימור היררכיה נכונה בצעדי הגזירה
- זיהוי תקלות נפוצות בגזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
- הצגת הבעיה והכנה לגזירה: השיעור מתחיל בגזירת פונקציה המורכבת מחלקים עם חזקות של x, ומדגיש את חשיבות הזכירה וההעתקה הנכונה של הנגזרת.
- גזירת לוגריתמים וטכניקות מיוחדות: מוצגים כללי הגזירה של פונקציות לוגריתמיות עם בסיסים שונים, כולל חשיבות השימוש בלוג עם בסיס e והנגזרת הפנימית.
תרגול קצר
גזור פונקציה פשוטה של ln(x)
רמת קושי: קל
גזור את הפונקציה y = ln(x)
רמז: השתמש בכלל הגזירה של הלוגריתם הטבעי
פתרון מלא
תשובה סופית: 1/x
הנגזרת של ln(x) היא 1 חלקי x
גזור את y = (x^2)/(x^2+1)
רמת קושי: בינוני
גזור את הפונקציה y = x בריבוע חלקי x בריבוע פלוס 1
רמז: השתמש בכלל המנה וגזור את המונה והמכנה בנפרד
פתרון מלא
תשובה סופית: (2x^3 + 2x - 2x^3) / (x^2+1)^2 = (2x) / (x^2+1)^2
הנגזרת היא ((2x)(x^2+1) - (x^2)(2x)) חלקי (x^2+1)^2, פשט את הביטוי
גזור פונקציה עם לוגריתם בסיס שונה
רמת קושי: מאתגר
גזור את y = 5 ln3(x) + 6 ln7(x^2 - 2x)
רמז: זכור את חוקי הנגזרת של log עם בסיס שונה ושימוש בנגזרת הפנימית
פתרון מלא
תשובה סופית: 5/(x * ln3) + 6*(2x-2)/( (x^2 - 2x) * ln7 )
g(y) = 5 * (1/(x) * ln(3)) + 6 * (1/(x^2 - 2x) * ln(7)) * (2x - 2)
דרך הפתרון
פתרון גזירת פונקציה עם לוגריתם
שלב אחר שלב בפתרון גזירת ln(x)
מפת פתרון
- מטרה
למצוא y' — נגזרת הפונקציה
- נתון 1
נתון 1
y = ln(x) - רעיון
הרעיון המרכזי
ליישם את חוק הגזירה של הלוגריתם הטבעי עם שמירת היררכיה של הנגזרת הפנימית.
- נוסחה
כותבים את הנגזרת כנוסחה 1/x
y' = 1 / xy' = 1/xy' = (1)/(x) - משוואה
מיישמים את הנוסחה על הפונקציה
מיישמים את הנוסחה על הפונקציה
- פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
הנגזרת היא 1/x
y' = 1 / xy' = 1/x - בדיקה
בדיקה קצרה
- הבנת חוק גזירת הלוגריתם
- שימור היררכיה בצעדים
- זהירות: שכחת לבצע נגזרת פנימית בפונקציות מורכבות
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציה נתונה
זיהוי נתונים
הפונקציה נתונה
מה עושים
y שווה ל-ln של x
למה
ברור שהפונקציה היא לוגריתם טבעי של x
הפונקציה שנגזור היא y = ln(x)
2בחירת שיטה
להשתמש בכלל הגזירה של ln(x)
בחירת שיטה
להשתמש בכלל הגזירה של ln(x)
מה עושים
לזכור כי הנגזרת של ln(x) היא 1 חלקי x
למה
חוק זה בסיסי לגזירת לוגריתמים טבעיים
נגזרת ln(x) היא 1/x
אין צורך לנגזר את הפנימית כי היא פשוט x
3בניית משוואה
הכנת הנוסחה לגזירה
בניית משוואה
הכנת הנוסחה לגזירה
מה עושים
כותבים את הנגזרת כנוסחה 1/x
למה
נוסחה פשוטה וברורה
y' = 1/x
נוסחה / הצבה
y' = 1 / xy' = 1/xy' = (1)/(x)4פתרון
גזירת ln(x)
פתרון
גזירת ln(x)
מה עושים
מיישמים את הנוסחה על הפונקציה
למה
לקבלת הנגזרת
הנגזרת של y = ln(x) היא y' = 1/x
5תשובה
תוצאה סופית
תשובה
תוצאה סופית
מה עושים
הנגזרת היא 1/x
למה
זו התוצאה המדויקת של גזירת ln(x)
y' = 1/x
נוסחה / הצבה
y' = 1 / xy' = 1/xy' = (1)/(x)פתרונות כלליים
- גזור פונקציה פשוטה של ln(x): הנגזרת של ln(x) היא 1 חלקי x
- גזור את y = (x^2)/(x^2+1): הנגזרת היא ((2x)(x^2+1) - (x^2)(2x)) חלקי (x^2+1)^2, פשט את הביטוי
- גזור פונקציה עם לוגריתם בסיס שונה: g(y) = 5 * (1/(x) * ln(3)) + 6 * (1/(x^2 - 2x) * ln(7)) * (2x - 2)