וידאו · נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית
א5. ניגזרות טכניקה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור העוסק בנגזרות של פונקציות טריגונומטריות תוך שימוש בטכניקות כמו זהויות טריגונומטריות, נגזרת פנימית, וחוקי חזקה והמספר הקבוע. השיעור מדגיש חשיבות השימוש בזהויות על מנת לפשט את חישוב הנגזרות, ומסביר דוגמאות טיפוסיות.
- לזהות וליישם את נגזרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות.
- להבין את השימוש בנגזרת פנימית בעת גזירת פונקציות עם משתנה בתוך הפונקציה.
- ליישם זהויות טריגונומטריות לפישוט פונקציות טריגונומטריות לפני גזירתן.
- לתרגל חישוב נגזרות של פונקציות מורכבות בהן מופיעים מחוצרים של פונקציות טריגונומטריות והחזקה.
- להבין ולזכור את נוסחאות הנגזרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס ועוד.
- הנגזרות הטריגונומטריות והנגזרת הפנימית: שימוש בנגזרות של סינוס וקוסינוס עם התחשבות בנגזרת הפנימית של הפונקציה בתוך הסוגריים, וכיצד הירידה בחזקה מתבצעת לפי חוקי הנגזרות.
- שימוש בזהויות טריגונומטריות לפישוט גזירות: המרת מכפלה של סינוס וקוסינוס לזהות הסינוס של זווית כפולה, לצורך פישוט גזירות והפחתת המורכבות בחישובים.
תרגול קצר
נגזרת של סינוס פשוט
רמת קושי: קל
חשב את הנגזרת של הפונקציה f(x) = סינוס x.
רמז: הנגזרת של סינוס x היא קוסינוס x.
פתרון מלא
תשובה סופית: קוסינוס x
הנגזרת של f היא f'(x) = קוסינוס x.
נגזרת של סינוס בחזקה
רמת קושי: בינוני
חשב את הנגזרת של הפונקציה f(x) = (סינוס x) בחזקת 3.
רמז: השתמש בכלל החזקה ונגזרת סינוס. זכרו להוסיף נגזרת פנימית של x, שהיא 1.
פתרון מלא
תשובה סופית: 3 סינוס בריבוע x כפול קוסינוס x
f'(x) = 3*(סינוס x)^2 * קוסינוס x
נגזרת של sin(2x)
רמת קושי: מאתגר
חשב את הנגזרת של הפונקציה f(x) = סינוס של 2x.
רמז: השתמש בכלל שרשרת: נגזרת סינוס היא קוסינוס כפול נגזרת (2x).
פתרון מלא
תשובה סופית: 2 קוסינוס 2x
f'(x) = קוסינוס של 2x * 2 = 2 קוסינוס 2x
נגזרת של ביטוי טריגונומטרי עם חזקה ומכפלה
רמת קושי: בגרות
חשב את הנגזרת של הפונקציה: f(x) = סינוס x + 3 קוסינוס x + 5 קוסינוס (2x)^6
רמז: נגזר כל סכום בנפרד. השתמש בכלל החזקה ל־(קוסינוס (2x))^6 ונגזרת פנימית של 2x.
פתרון מלא
תשובה סופית: קוסינוס x - 3 סינוס x - 120 (קוסינוס (2x))^5 סינוס (2x)
נגזרת סינוס x היא קוסינוס x נגזרת 3 קוסינוס x היא -3 סינוס x נגזרת 5 קוסינוס (2x)^6 היא: 5 * 6 * (קוסינוס (2x))^5 * נגזרת קוסינוס (2x) = 30 * (קוסינוס (2x))^5 * (-סינוס (2x)) * 2 = -60 (קוסינוס (2x))^5 * סינוס (2x) * 2
דרך הפתרון
איך לגזור פונקציה טריגונומטרית עם חזקה
נגזרת של הפונקציה f(x) = 5 קוסינוס (2x)^6
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הנגזרת של f, כלומר f'(x)
- נתון 1
נתון 1
f(x) = 5 קוסינוס (2x)^6 - רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בכלל החזקה עם נגזרת פנימית של הפונקציה שבתוך הקוסינוס.
- נוסחה
f'(x) = 5 * 6 * (קוסינוס (2x))^{5} * נגזרת קוסינוס (2x)
f'(x) = 5 * 6 * (קוסינוס (2x))^5 * נגזרת קוסינוס (2x) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
נגזרת קוסינוס היא - סינוס כפול נגזרת הפנימית.
נגזרת קוסינוס היא - סינוס כפול נגזרת הפנימית.
נגזרת קוסינוס (2x) = - סינוס (2x) * 2 - תוצאה
מסיימים בתשובה
f'(x) = 5 * 6 * (קוסינוס (2x))^5 * (- סינוס (2x) * 2) = -120 (קוסינוס (2x))^5 סינוס (2x)
f'(x) = -120 (קוסינוס (2x))^5 סינוס (2x) - בדיקה
בדיקה קצרה
- האם כתבתי נכון את כלל החזקה?
- האם כללת את נגזרת הפונקציה הפנימית (2x)?
- זהירות: שכחת להוריד חזקה אחת במעבר הנשיאה.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציה
זיהוי נתונים
הפונקציה
מה עושים
ייתר על f(x) = 5 קוסינוס (2x)^6
למה
כדי להבין מה נדרש לגזור.
2בחירת שיטה
השתמש בכלל החזקה ונגזרת פנימית
בחירת שיטה
השתמש בכלל החזקה ונגזרת פנימית
מה עושים
נזכור שהנגזרת של (גוף)^n היא n כפול (גוף) בחזקת n-1 כפול נגזרת הגוף.
למה
כדי לגזור פונקציות עם חזקה ומבנה פנימי.
3בניית משוואה
כתוב ביטוי נגזרת כללי
בניית משוואה
כתוב ביטוי נגזרת כללי
מה עושים
f'(x) = 5 * 6 * (קוסינוס (2x))^{5} * נגזרת קוסינוס (2x)
למה
כדי לפרק את הנגזרת לחלקים פשוטים.
נוסחה / הצבה
f'(x) = 5 * 6 * (קוסינוס (2x))^5 * נגזרת קוסינוס (2x)4פתרון
חשב נגזרת קוסינוס (2x)
פתרון
חשב נגזרת קוסינוס (2x)
מה עושים
נגזרת קוסינוס היא - סינוס כפול נגזרת הפנימית. נגזרת(קוסינוס (2x)) = - סינוס (2x) * 2
למה
השתמש בכלל השרשרת כדי לכלול את 2x.
נוסחה / הצבה
נגזרת קוסינוס (2x) = - סינוס (2x) * 2חשוב לזכור לכלול את נגזרת הפנימית.
5תשובה
השלם ונפה את התוצאה
תשובה
השלם ונפה את התוצאה
מה עושים
f'(x) = 5 * 6 * (קוסינוס (2x))^5 * (- סינוס (2x) * 2) = -120 (קוסינוס (2x))^5 סינוס (2x)
למה
כדי לקבל את הנגזרת הסופית בצורה פשוטה וברורה.
נוסחה / הצבה
f'(x) = -120 (קוסינוס (2x))^5 סינוס (2x)זכור להכניס את כל המקדם והסימנים.
פתרונות כלליים
- נגזרת של סינוס פשוט: הנגזרת של f היא f'(x) = קוסינוס x.
- נגזרת של סינוס בחזקה: f'(x) = 3*(סינוס x)^2 * קוסינוס x
- נגזרת של sin(2x): f'(x) = קוסינוס של 2x * 2 = 2 קוסינוס 2x
- נגזרת של ביטוי טריגונומטרי עם חזקה ומכפלה: נגזרת סינוס x היא קוסינוס x נגזרת 3 קוסינוס x היא -3 סינוס x נגזרת 5 קוסינוס (2x)^6 היא: 5 * 6 * (קוסינוס (2x))^5 * נגזרת קוסינוס (2x) = 30 * (קוסינוס (2x))^5 * (-סינוס (2x)) * 2 = -60 (קוסינוס (2x))^5 * סינוס (2x) * 2