וידאו · גדילה ודעיכה
א1. גדילה ודעיכה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק במושגי גדילה ודעיכה מעריכית, דרך דוגמה של ערך רכב שמאבד 10% מערכו בשנה. מוסברת נוסחת הגדילה והדעיכה, חישוב ערך הרכב לאחר שנים שונות וזמן מחצית החיים.
- להבין את נוסחת הגדילה והדעיכה המעריכית
- לחשב שווי רכוש לאחר מספר שנים בהתבסס על אחוז דעיכה
- לחשב זמן מחצית חיים
- לחשב משך זמן להגעה לשווי מסוים לפי מודל דעיכה
- הגדרת גדילה ודעיכה: הסבר על פונקציית הגדילה והדעיכה f(t) = f(0) * (1 ± p/100)^t ופרשנות למשתנים השונים.
- הדגמה ופתרון תרגיל: פתרון תרגיל עם רכב שעלה 120,000 שקל ומאבד 10% מערכו בשנה, חישוב ערך הרכב לאחר 5 שנים, זמן מחצית החיים וזמן להגיע לרבע מהשווי ההתחלתי.
תרגול קצר
חישוב שווי הרכב אחרי 5 שנים
רמת קושי: קל
ארז קנה רכב ב-120,000 שקל. הרכב מאבד כל שנה 10% מערכו. מהו שווי הרכב אחרי 5 שנים?
רמז: חשב את מקדם הדעיכה 1 פחות 10 חלקי 100 ואז השתמש ב-nוסחת הדעיכה
פתרון מלא
תשובה סופית: 70858.8 שקל
מקדם הדעיכה הוא 0.9. השווי אחרי 5 שנים הוא 120000 כפול 0.9 בחזקת 5 = 120000 * 0.59049 = 70858.8 שקל.
חישוב זמן מחצית החיים של הרכב
רמת קושי: בינוני
אם לרכב יש ערך התחלתי של 120,000 והוא מאבד 10% מערכו כל שנה, כמה שנים ייקח עד ששוויו יגיע למחצית, 60,000?
רמז: השתמש במשוואה מעריכית והצלב לוגריתם עם בסיס המקדם
פתרון מלא
תשובה סופית: 6.57 שנים
מקדם הדעיכה הוא 0.9. אנו מחפשים T כך ש-120000 * (0.9)^T = 60000. נחלק ב-120000: (0.9)^T = 0.5. נפתור ללוגריתם: T = log בסיס 0.9 של 0.5 = log(0.5)/log(0.9) ≈ 6.57 שנים.
כמה שנים עד שהרכב יגיע לערך רבע?
רמת קושי: מאתגר
ארז רוצה למכור את הרכב כשהשווי שלו הגיע לרבע ממחיר הקנייה, כלומר 30,000 ש"ח. כמה שנים עליו להמתין?
רמז: הציב במשוואה ונצל לוגריתם לפתור את הזמן T
פתרון מלא
תשובה סופית: 13.16 שנים
מקדם הדעיכה הוא 0.9. Gleichung: 120000 * 0.9^T = 30000. מחלק ב-120000: 0.9^T = 0.25 = 1/4. לוגריתם: T = log בסיס 0.9 של 0.25 = log(0.25)/log(0.9) ≈ 13.16 שנים.
רכב דאיך בשנים שונות
רמת קושי: בגרות
ערכו של רכב שמתחדש בשווי של 120,000 ש"ח דועך ב-10% בשנה. חשב את שווי הרכב אחרי 5 שנים, חשב את זמן מחצית החיים, וכמה שנים יקח עד ששוויו יגיע לרבע מהערך ההתחלתי.
רמז: השתמש בנוסחת הדעיכה ובנוסחאות לוגריתמיות לפיתרון
פתרון מלא
תשובה סופית: שווי אחרי 5 שנים: 70858.8 ש"ח, מחצית חיים: 6.57 שנים, זמן לרבע: 13.16 שנים
אחרי 5 שנים: 120000 כפול 0.9^5 = 70858.8 ש"ח. זמן מחצית חיים: T=log(0.5)/log(0.9)=6.57 שנים. זמן עד לרבע: T=log(0.25)/log(0.9)=13.16 שנים.
דרך הפתרון
פתרון חישוב שווי הרכב אחרי 5 שנים
דווחה של דעיכה במודל מעריכי
מפת פתרון
- מטרה
למצוא השווי לאחר 5 שנים
- נתון 1
שווי התחלתי של הרכב: 120,000 ש"ח
- נתון 2
הפסד שנתי של 10% בערך הרכב
- נתון 3
רוצים לחשב את השווי לאחר 5 שנים
- רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את מקדם הדעיכה ואז נציב בנוסחת הדעיכה המעריכית כדי לקבל את הערך לאחר 5 שנים.
- נוסחה
הצבת הנוסחה f(t) = f(0) * (המקדם)^t
f(t) = f(0) * 0.9^tf(t) = f(0) x 0.9^(t) - משוואה
נציב t=5 בנוסחה ונחשב את הערך
נציב t=5 בנוסחה ונחשב את הערך
f(5) = 120000 * 0.9^5 = 120000 * 0.59049f(5) = 120000 x 0.9^(5) = 120000 x 0.59049 - פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
גודל התחלתי
זיהוי נתונים
גודל התחלתי
מה עושים
שווי הרכב ההתחלתי הוא 120,000 ש"ח
למה
הערך ההתחלתי משמש כבסיס לחישוב הדעיכה.
משווים לגודל ההתחלתי f(0)
2בחירת שיטה
מקדם הדעיכה
בחירת שיטה
מקדם הדעיכה
מה עושים
חישוב 1 פחות 10 חלקי 100
למה
המקדם מייצג את שבר הערך שנשאר כל שנה לאחר הדעיכה
מקדם הדעיכה הוא 0.9
נוסחה / הצבה
מקדם הדעיכה = 1 - (10 / 100)מקדם הדעיכה = 0.9לחשב פעם אחת ולהשתמש תמיד במקדם במקום האחוז בחישובים
3בניית משוואה
נוסחת הדעיכה
בניית משוואה
נוסחת הדעיכה
מה עושים
הצבת הנוסחה f(t) = f(0) * (המקדם)^t
למה
נוסחה זו מתארת דעיכה מעריכית עם מקדם קבוע
נוסחת הגדילה/דעיכה: f(t) = f(0) * a^t
נוסחה / הצבה
f(t) = f(0) * 0.9^tf(t) = f(0) x 0.9^(t)4פתרון
חישוב שווי לאחר 5 שנים
פתרון
חישוב שווי לאחר 5 שנים
מה עושים
נציב t=5 בנוסחה ונחשב את הערך
למה
הצבה תיתן לנו את ערך הרכב לאחר 5 שנים כולל הדעיכה השנתית המצטברת
חישוב f(5) = 120000 * 0.9^5
נוסחה / הצבה
f(5) = 120000 * 0.9^5 = 120000 * 0.59049f(5) = 120000 x 0.9^(5) = 120000 x 0.590495תשובה
ערך הרכב לאחר 5 שנים
תשובה
ערך הרכב לאחר 5 שנים
מה עושים
כפול את המספרים לקבלת תוצאה סופית
למה
הערך המתקבל הוא מחיר הרכב לאחר 5 שנות דעיכה
f(5) ≈ 70858.8 ש"ח
פתרונות כלליים
- חישוב שווי הרכב אחרי 5 שנים: מקדם הדעיכה הוא 0.9. השווי אחרי 5 שנים הוא 120000 כפול 0.9 בחזקת 5 = 120000 * 0.59049 = 70858.8 שקל.
- חישוב זמן מחצית החיים של הרכב: מקדם הדעיכה הוא 0.9. אנו מחפשים T כך ש-120000 * (0.9)^T = 60000. נחלק ב-120000: (0.9)^T = 0.5. נפתור ללוגריתם: T = log בסיס 0.9 של 0.5 = log(0.5)/log(0.9) ≈ 6.57 שנים.
- כמה שנים עד שהרכב יגיע לערך רבע?: מקדם הדעיכה הוא 0.9. Gleichung: 120000 * 0.9^T = 30000. מחלק ב-120000: 0.9^T = 0.25 = 1/4. לוגריתם: T = log בסיס 0.9 של 0.25 = log(0.25)/log(0.9) ≈ 13.16 שנים.
- רכב דאיך בשנים שונות: אחרי 5 שנים: 120000 כפול 0.9^5 = 70858.8 ש"ח. זמן מחצית חיים: T=log(0.5)/log(0.9)=6.57 שנים. זמן עד לרבע: T=log(0.25)/log(0.9)=13.16 שנים.