וידאו · משוואה מעריכית
א10. משוואות מעריכיות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור המתמקד בפתרון משוואות מעריכיות עם בסיס e, כולל זיהוי מקרים שונים שבהם משווים מעריכים, הפעלת כללים אלגבריים והוצאת גורם משותף להקלת הפתרון.
- להבין את מבנה המשוואות המעריכיות עם בסיס e
- לזהות מתי ניתן להשוות מעריכים ולהשתמש בכך לפתרון
- לחבר משוואות אלגבריות מתוך המשוואות המעריכיות
- להוציא גורמים משותפים ולפתור משוואות פולינומיאליות הנובעות ממשוואות מעריכיות
- הכרת בסיס e במשוואות מעריכיות: בסיס e הוא מספר אי רציונלי (2.718) המשמש כבסיס של מעריכית. משוואות עם בסיס e נפתרות על ידי השוואת המעריכים כאשר הבסיסים זהים.
- פתרון משוואות מעריכיות פשוטות: פתרון משוואות שבהן הבסיסים זהים על ידי השוואת מעריכים ופתרון המשוואה העצמאית שנוצרת.
- הוצאת גורם משותף במשוואות מעריכיות: הוצאת גורם משותף מאפשרת לפשט משוואות ולהפוך אותן למשוואות אלגבריות סטנדרטיות שקל לפתור.
תרגול קצר
פתרון משוואה בסיסית עם e
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה: e בחזקת x שווה 1.
רמז: חשב מה הערך של x כך ש-e בחזקת x יהיה 1.
פתרון מלא
תשובה סופית: x=0
ידוע ש-e בחזקת 0 שווה 1, לכן x=0.
פתרון משוואה מעריכית עם מעריך מכפלה
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה: e בחזקת 3x שווה e בחזקת 6.
רמז: השווה את המעריכים במקום המעריכים עם אותו בסיס.
פתרון מלא
תשובה סופית: x=2
e בחזקת 3x = e בחזקת 6 3x = 6 x = 2
פתרון משוואה מעריכית עם הוצאת גורם משותף
רמת קושי: מאתגר
פתור את המשוואה: 3x בריבוע כפול e בחזקת -x ועוד 2x כפול e בחזקת -x שווה 0.
רמז: הוצא את e בחזקת -x ופתור את המשוואה האלגברית הנותרת.
פתרון מלא
תשובה סופית: x=0 או x=-2/3
נצא גורם משותף: e בחזקת -x (3x בריבוע + 2x) = 0 e בחזקת -x לא יכול להיות 0 לכן 3x בריבוע + 2x = 0 x(3x + 2) = 0 x=0 או x = -2/3
פתרון משוואה מעריכית עם הוצאת גורם משותף והשוואת מעריכים
רמת קושי: בגרות
פתור: 2 פעמים e בחזקת 2x חלקי x פחות e בחזקת 2x חלקי x בריבוע שווה 0.
רמז: הוצא את e בחזקת 2x כמכנה משותף ופתור את המשוואה המתקבלת.
פתרון מלא
תשובה סופית: x=1/2
נוציא e בחזקת 2x: 2 חלקי x - 1 חלקי x בריבוע = 0 נכפיל ב-x בריבוע: 2x - 1 = 0 2x = 1 x = 1/2
דרך הפתרון
פתרון משוואה מעריכית עם בסיס e
משוואה: e בחזקת 3x שווה e בחזקת 6
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערך x שמקיים את המשוואה
- נתון 1
נתון 1
המשוואה e בחזקת 3x = e בחזקת 6 - רעיון
הרעיון המרכזי
מכיוון שבסיסי המעריכים זהים, נשווה את המעריכים ונפתור את המשוואה האלגברית שנוצרת.
- נוסחה
נתונה המשוואה e בחזקת 3x שווה e בחזקת 6
e^(3x) = e^(6) - משוואה
חלק את שני האגפים ב-3
חלק את שני האגפים ב-3
x = 6 / 3x = (6)/(3) - פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
x שווה 2
x = 2 - בדיקה
בדיקה קצרה
- הבסיסים במשוואה זהים
- האם השווית את המעריכים נכון
- זהירות: לנסות להשוות מעריכים בזמן שהבסיסים לא זהים
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
משוואה מעריכית עם אותו בסיס
זיהוי נתונים
משוואה מעריכית עם אותו בסיס
מה עושים
נתונה המשוואה e בחזקת 3x שווה e בחזקת 6
למה
מאחר והבסיסים זהים, ניתן להשוות את המעריכים ישירות.
e בחזקת 3x = e בחזקת 6
נוסחה / הצבה
e^(3x) = e^(6)חשוב לוודא שהבסיסים זהים לפני השוואת מעריכים.
2בחירת שיטה
שוויון מעריכים
בחירת שיטה
שוויון מעריכים
מה עושים
משווים את מעריך השמאל למעריך הימין
למה
זה חוק במעריכיות עם אותו בסיס
3x = 6
נוסחה / הצבה
3x = 6מאפשר הפחתת המשוואה המייצגת.
3פתרון
פתור משוואה אלגברית פשוטה
פתרון
פתור משוואה אלגברית פשוטה
מה עושים
חלק את שני האגפים ב-3
למה
לבודד את x
x = 6 חלקי 3
נוסחה / הצבה
x = 6 / 3x = (6)/(3)פישוט שברים פשוט ייתן תוצאה מדויקת.
4תשובה
קיבלנו את הפתרון
תשובה
קיבלנו את הפתרון
מה עושים
x שווה 2
למה
לכן הפתרון של המשוואה הוא x=2
x = 2
נוסחה / הצבה
x = 2בדוק את התשובה במשוואה המקורית כדי לוודא את נכונותה.
פתרונות כלליים
- פתרון משוואה בסיסית עם e: ידוע ש-e בחזקת 0 שווה 1, לכן x=0.
- פתרון משוואה מעריכית עם מעריך מכפלה: e בחזקת 3x = e בחזקת 6 3x = 6 x = 2
- פתרון משוואה מעריכית עם הוצאת גורם משותף: נצא גורם משותף: e בחזקת -x (3x בריבוע + 2x) = 0 e בחזקת -x לא יכול להיות 0 לכן 3x בריבוע + 2x = 0 x(3x + 2) = 0 x=0 או x = -2/3
- פתרון משוואה מעריכית עם הוצאת גורם משותף והשוואת מעריכים: נוציא e בחזקת 2x: 2 חלקי x - 1 חלקי x בריבוע = 0 נכפיל ב-x בריבוע: 2x - 1 = 0 2x = 1 x = 1/2