וידאו · משוואה מעריכית
א9. משוואות מעריכיות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור זה מתמקד בפתרון משוואות מעריכיות בשני נעלמים תוך שימוש בהצבה, כינויים לזוזות חדשות, והפשטות אלגבריות, עם דגש על ארגון העבודה ומניעת טעויות חשבוניות.
- להבין כיצד להמיר משוואות מעריכיות למשתנים חדשים לצורך פתרון פשוט יותר
- לפתור מערכות משוואות מעריכיות בשתי נעלמים באמצעות הצבה וכינויים
- לפשט ביטויים אלגבריים ולמצוא פתרונות משוואות ממעלה שנייה
- לשפר את הדיוק והארגון בעבודה אלגברית ארוכה
- פישוט משוואות מעריכיות למשתנים חדשים: החלפה של חזקות הבסיסים המשתנים למשתנים T ו-K וניצול חוקי חזקות להורדת מערכות המשוואות לצורת טרינומים ומערכות אלגבריות לפתרון קל יותר.
- פתרון משוואות ממעלה שנייה ופתרון מערכת משוואות: פיתרון משוואות ריבועיות ב-T וב-K למציאת ערכי המשתנים, ולאחר מכן התאמה חזרה ל-X ו-Y בעזרת הפשרות של הלוגריתמים.
תרגול קצר
פתור משוואה מעריכית ב-T
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה 4T - 8 + 3T = T^2 - 2T
רמז: כנס קודם כל אגפים והפוך למשוואת טרינום רגילה ב-T
פתרון מלא
תשובה סופית: X=3 או X=0
4T - 8 + 3T = T^2 - 2T שווה ל: 7T -8 = T^2 - 2T העבר אגפים: T^2 - 9T - 8 = 0 פתור טרינום זה לקבלת T התשובות הן T=8 ו-T=1 מציאת X: 2 ב-X = T לכן 2 ב-X = 8 => X=3 או 2 ב-X = 1 => X=0
פתור מערכת משוואות מעריכיות עם שני נעלמים
רמת קושי: בינוני
פתור את המערכת: 2 ב-X + 4 ב-Y = 10, 4 ב-X + 16 ב-Y = 60
רמז: הגדר T=2 ב-X ו-K=4 ב-Y והשתמש בטרינומים ב-T ו-K
פתרון מלא
תשובה סופית: (X=1,Y=3/2) או (X=3, Y=1/2)
T = 2 ב-X K = 4 ב-Y אז: T + K = 10 T^2 + K^2 = 60 בודדים T = 10 - K מכניסים למשוואה השנייה: (10 - K)^2 + K^2 = 60 מפתח ומפשט: 100 - 20K + K^2 + K^2 = 60 2K^2 -20K +40=0 מחלק ב-2: K^2 -10K +20=0 מחשב שורשים K=8 או K=2 אם K=8 אז T=2 אם K=2 אז T=8 חזור ל-X,Y: K=4 ב-Y אם K=8 => 4 ב-Y=8 = 2^3 => 2Y=3 => Y=3/2 T=2 ב-X אם T=2 => 2 ב-X=2 => X=1 ומקרה שני: K=2 => 4 ב-Y=2=2^1 => 2Y=1 => Y=1/2 T=8 => 2 ב-X=8=2^3 => X=3
פתור מערכת משוואות מעריכיות עם חזקות של 3
רמת קושי: מאתגר
פתור את המערכת: 3 ב-X + 3 ב-Y = 0, 9 ב-X + 10 ב-Y = -1
רמז: הכפל משוואות כדי לבטל משתנה, הגדר t=3 ב-X
פתרון מלא
תשובה סופית: (X=2, Y=-3) או (X=-1, Y=-1/9)
הכפל את המשוואה הראשונה ב-10: 10*3 ב-X + 10*3 ב-Y = 0 וזו ב-3: 3*9 ב-X + 3*10 ב-Y = -3 נחסר משוואה שנייה מהראשונה: 10*3 ב-X - 3*9 ב-X = 3 מכנה t = 3 ב-X 10t - 3t^2 = 3 מסדר: -3t^2 +10t -3 =0 נכפיל במינוס: 3t^2 -10t +3=0 נפתור טרינום: שורשים t=9 או t=1/3 אם t=9, 3 ב-X=9=3^2 => X=2 אם t=1/3=3^(-1) => X=-1 בהצבה נפתור ל-Y ל-t=9: 3 בריבוע + 3Y=0 => 9+3Y=0 => Y=-3 ל-t=1/3: 1/3 + 3Y=0 => 3Y = -1/3 => Y= -1/9
דרך הפתרון
פתרון מערכת משוואות מעריכיות ב-X ו-Y
כיצד לפתור מערכת משוואות מעריכיות בעזרת הצבה של משתנים חדשים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערכי X ו-Y שמקיימים את המערכת
- נתון 1
2 בחזקת X ועוד 4 בחזקת Y שווה ל-10
- נתון 2
4 בחזקת X ועוד 16 בחזקת Y שווה ל-60
- רעיון
הרעיון המרכזי
הגדר משתנים חדשים T ו-K עבור הביטויים המעריכיים והמר מערכת המשוואות למערכת אלגברית בת שני
- נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
- משוואה
בודד את T מ-T + K = 10
בודד את T מ-T + K = 10
- פישוט
פתור את 2 K^2 - 20 K + 40 = 0 לחישוב K
פתור את 2 K^2 - 20 K + 40 = 0 לחישוב K
- תוצאה
מסיימים בתשובה
הכנס לביטוי השני: (10 - K)^2 + K^2 = 60 פתח סוגריים ופשט
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
רשום את המשוואות
זיהוי נתונים
רשום את המשוואות
מה עושים
רשום את שתי המשוואות הנתונות במערכת
למה
זו מערכת המשוואות שעל פי דרכך לפתור אותה
2 בחזקת X + 4 בחזקת Y = 10 4 בחזקת X + 16 בחזקת Y = 60
2זיהוי נתונים
הגדר את המשתנים החדשים
זיהוי נתונים
הגדר את המשתנים החדשים
מה עושים
קבע T=2 ב-X ו-K=4 ב-Y
למה
להפוך ביטויים מורכבים למשוואות אלגבריות פשוטות
T = 2 ב-X K = 4 ב-Y
כך אפשר לכתוב חזקות גבוהות בצורה חכמה
3בחירת שיטה
המר למשוואות בנעלמים T ו-K
בחירת שיטה
המר למשוואות בנעלמים T ו-K
מה עושים
תכתוב את המשוואות מחדש לפי המשתנים החדשים
למה
פתרון המשוואות יהפוך לפשוט יותר
T + K = 10 T^2 + K^2 = 60
4בניית משוואה
בודד משתנה אחד
בניית משוואה
בודד משתנה אחד
מה עושים
בודד את T מ-T + K = 10
למה
כדי להכניס לביטוי השני ולפתור
T = 10 - K
5בניית משוואה
הכנס לטרינום ופתח
בניית משוואה
הכנס לטרינום ופתח
מה עושים
הכנס לביטוי השני: (10 - K)^2 + K^2 = 60 פתח סוגריים ופשט
למה
לקבל משוואה ריבועית ב-K
100 - 20K + K^2 + K^2 = 60 2 K^2 - 20 K + 40 = 0
6פתרון
פתור משוואה ריבועית
פתרון
פתור משוואה ריבועית
מה עושים
פתור את 2 K^2 - 20 K + 40 = 0 לחישוב K
למה
לקבל את ערכי K
מחלק ב-2: K^2 - 10K + 20 = 0 שורשים: K=8 או K=2
פתרונות כלליים
- פתור משוואה מעריכית ב-T: 4T - 8 + 3T = T^2 - 2T שווה ל: 7T -8 = T^2 - 2T העבר אגפים: T^2 - 9T - 8 = 0 פתור טרינום זה לקבלת T התשובות הן T=8 ו-T=1 מציאת X: 2 ב-X = T לכן 2 ב-X = 8 => X=3 או 2 ב-X = 1 => X=0
- פתור מערכת משוואות מעריכיות עם שני נעלמים: T = 2 ב-X K = 4 ב-Y אז: T + K = 10 T^2 + K^2 = 60 בודדים T = 10 - K מכניסים למשוואה השנייה: (10 - K)^2 + K^2 = 60 מפתח ומפשט: 100 - 20K + K^2 + K^2 = 60 2K^2 -20K +40=0 מחלק ב-2: K^2 -10K +20=0 מחשב שורשים K=8 או K=2 אם K=8 אז T=2 אם K=2 אז T=8 חזור ל-X,Y: K=4 ב-Y אם K=8 => 4 ב-Y=8 = 2^3 => 2Y=3 => Y=3/2 T=2 ב-X אם T=2 => 2 ב-X=2 => X=1 ומקרה שני: K=2 => 4 ב-Y=2=2^1 => 2Y=1 => Y=1/2 T=8 => 2 ב-X=8=2^3 => X=3
- פתור מערכת משוואות מעריכיות עם חזקות של 3: הכפל את המשוואה הראשונה ב-10: 10*3 ב-X + 10*3 ב-Y = 0 וזו ב-3: 3*9 ב-X + 3*10 ב-Y = -3 נחסר משוואה שנייה מהראשונה: 10*3 ב-X - 3*9 ב-X = 3 מכנה t = 3 ב-X 10t - 3t^2 = 3 מסדר: -3t^2 +10t -3 =0 נכפיל במינוס: 3t^2 -10t +3=0 נפתור טרינום: שורשים t=9 או t=1/3 אם t=9, 3 ב-X=9=3^2 => X=2 אם t=1/3=3^(-1) => X=-1 בהצבה נפתור ל-Y ל-t=9: 3 בריבוע + 3Y=0 => 9+3Y=0 => Y=-3 ל-t=1/3: 1/3 + 3Y=0 => 3Y = -1/3 => Y= -1/9