שיעור זה עוסק בחקירת פונקציה טריגונומטרית בתחום התחום הסגור בין מינוס פאי לפאי ללא אסימפטוטות, כולל חישוב חיתוכים עם צירי x ו-y באמצעות מחשבון וחקירת משוואות טריגונומטריות פשוטות.
להבין מהו תחום ההגדרה של פונקציה טריגונומטרית בתחום סגור
לחשב חיתוכים עם צירי x ו-y באמצעות החישוב במחשבון
לפרק משוואה טריגונומטרית לשני מקרים לפתירה
להכיר מקרים שבהם סינוס או קוסינוס שווים לאפס או לאחד בתחום נתון
לבצע ניתוח תחום קשיח של פונקציה ללא אסימפטוטות
תחום ההגדרה והאסימפטוטות בפונקציה: הפונקציה נבחנת בתחום סגור בין מינוס פאי לפאי, בו אין אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, כלומר אין ערכי x האסורים לפונקציה וגם אין התקרבות לאינסוף.
חישוב חיתוכים עם צירי X ו-Y: חישוב ערכי הפונקציה בנקודות x=0, x= פאי ו-x= -פאי ע״י מחשבון, ומציאת חיתוכים עם הצירים באמצעות משוואת פונקציה טריגונומטרית פשוטה.
פתרון משוואה טריגונומטרית: פירוק המשוואה סינוס 2x פחות 2 סינוס x לאמצעות נוסחת הכפולות סינוס 2x= 2 סינוס x קוסינוס x, הוצאת גורם משותף וגזירה למקרים בהם סינוס x = 0 או קוסינוס x=1.

תרגול קצר

חישוב חיתוך עם ציר Y בתחום סגור

רמת קושי: קל

ממתין

תהי הפונקציה f(x) = סינוס 2x פחות 2 סינוס x בתחום x שבין -π ל-π. חשב את ערכי הפונקציה בנקודות x=0, x=π ו-x=-π.

טריגונומטריהחיתוך ציריםתחום סגור

רמז: השתמש בנוסחת סינוס כפול ובחישוב ישיר במחשבון עבור כל נקודה.

פתרון מלא

תשובה סופית: הערך של הפונקציה ב-x=0, π, -π הוא 0 בכל המקרים.

נציב בכל נקודה בנפרד: f(0) = סינוס 0 - 2 סינוס 0 = 0, f(π) = סינוס 2π - 2 סינוס π = 0 - 0 = 0, f(-π) = סינוס -2π - 2 סינוס -π = 0 - 0 = 0.

פתרון משוואה טריגונומית בגרסה מפורקת

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתור את המשוואה סינוס 2x פחות 2 סינוס x = 0 בתחום x שבין -π ל-π.

משוואה טריגונומטריתפתרון משוואותטריגונומטריה

רמז: השתמש בנוסחת סינוס כפול להוצאת גורם משותף.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = -π, 0, π

נעשה שימוש בנוסחה סינוס 2x = 2 סינוס x קוסינוס x ולכן המשוואה היא 2 סינוס x קוסינוס x - 2 סינוס x = 0. נוציא גורם משותף: 2 סינוס x (קוסינוס x - 1) = 0. נשווה כל גורם לאפס: סינוס x = 0 או קוסינוס x = 1. סינוס x = 0 ב-x = kπ, בתוך התחום x ב-[-π,π]: x = -π, 0, π. קוסינוס x =1 ב-x = 2kπ, בתחום זה רק x=0 מתאים. לכן הפתרונות בתחום הם x = -π, 0, π.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה טריגונומטרית פשוטה

כיצד לפתור סינוס 2x פחות 2 סינוס x = 0 בתחום סגור

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערכי x בתחום בו המשוואה מתקיימת
נתון 1
נתון 1
המשוואה סינוס 2x פחות 2 סינוס x = 0
נתון 2
התחום: x בין -π ל-π
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בנוסחת סינוס כפול להוצאת גורם משותף ואז נפתור עבור כל גורם שווה לאפס.
נוסחה
החלפת סינוס 2x בנוסחה ומעבר לשלב הוצאת גורם משותף.
2 סינוס x קוסינוס x - 2 סינוס x = 0
משוואה
המשוואה סינוס 2x פחות 2 סינוס x = 0 בתחום x בין -π ל-π.
המשוואה סינוס 2x פחות 2 סינוס x = 0 בתחום x בין -π ל-π.
פישוט
נוציא 2 סינוס x גורם משותף ונקבל 2 סינוס x (קוסינוס x - 1) = 0.
נוציא 2 סינוס x גורם משותף ונקבל 2 סינוס x (קוסינוס x - 1) = 0.
2 סינוס x (קוסינוס x - 1) = 0
תוצאה
מסיימים בתשובה
מציאת הפתרונות המתאימים לתחום באמצעות ערכים מיוחדים של סינוס וקוסינוס.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

המשוואה והתחום

מה עושים

המשוואה סינוס 2x פחות 2 סינוס x = 0 בתחום x בין -π ל-π.

למה

חשוב להגדיר מהם הנתונים והתחום לפתרון.

המשוואה הרצויה לפתרון תחום ההגבלה מגדיר איפה נחפש פתרונות.

בחירת שיטה

שימוש בנוסחת סינוס כפול

מה עושים

נשתמש בנוסחה סינוס 2x = 2 סינוס x קוסינוס x כדי לפרק את הביטוי.

למה

פירוק נוח לפיצול לגורמים לפתרון.

ניתוח הביטוי מאפשר עבודה אלגברית פשוטה.

חשוב לזכור את הנוסחה לביצוע הפירוק.

בניית משוואה

ייצוג משוואה מפורקת

מה עושים

החלפת סינוס 2x בנוסחה ומעבר לשלב הוצאת גורם משותף.

למה

לפשט את המשוואה עבור פתרון יעיל.

המשוואה הופכת ל- 2 סינוס x קוסינוס x פחות 2 סינוס x = 0.

נוסחה / הצבה

2 סינוס x קוסינוס x - 2 סינוס x = 0

פתרון

הוצאת גורם משותף ופתרון

מה עושים

נוציא 2 סינוס x גורם משותף ונקבל 2 סינוס x (קוסינוס x - 1) = 0. נפתור כל גורם בנפרד.

למה

מחלק את הפתרון לשני מקרים פשוטים לפתרון.

סינוס x=0 או קוסינוס x=1

נוסחה / הצבה

2 סינוס x (קוסינוס x - 1) = 0

בדיקה

פריסת פתרונות בתחום

מה עושים

מציאת הפתרונות המתאימים לתחום באמצעות ערכים מיוחדים של סינוס וקוסינוס.

למה

לבדוק אילו פתרונות מתאימים למגבלות התחום.

סינוס x=0 ב-x = -π, 0, π; קוסינוס x=1 ב-x=0 בלבד, לכן הפתרונות הם x=-π, 0, π.

זכור את ערכי הזוויות המיוחדות.

פתרונות כלליים

חישוב חיתוך עם ציר Y בתחום סגור: נציב בכל נקודה בנפרד: f(0) = סינוס 0 - 2 סינוס 0 = 0, f(π) = סינוס 2π - 2 סינוס π = 0 - 0 = 0, f(-π) = סינוס -2π - 2 סינוס -π = 0 - 0 = 0.
פתרון משוואה טריגונומית בגרסה מפורקת: נעשה שימוש בנוסחה סינוס 2x = 2 סינוס x קוסינוס x ולכן המשוואה היא 2 סינוס x קוסינוס x - 2 סינוס x = 0. נוציא גורם משותף: 2 סינוס x (קוסינוס x - 1) = 0. נשווה כל גורם לאפס: סינוס x = 0 או קוסינוס x = 1. סינוס x = 0 ב-x = kπ, בתוך התחום x ב-[-π,π]: x = -π, 0, π. קוסינוס x =1 ב-x = 2kπ, בתחום זה רק x=0 מתאים. לכן הפתרונות בתחום הם x = -π, 0, π.

הפריט הקודם הפריט הבא

ד2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערכי x בתחום בו המשוואה מתקיימת

נתון 1

התחום: x בין -π ל-π

הרעיון המרכזי

החלפת סינוס 2x בנוסחה ומעבר לשלב הוצאת גורם משותף.

המשוואה סינוס 2x פחות 2 סינוס x = 0 בתחום x בין -π ל-π.

נוציא 2 סינוס x גורם משותף ונקבל 2 סינוס x (קוסינוס x - 1) = 0.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

המשוואה והתחום

שימוש בנוסחת סינוס כפול

ייצוג משוואה מפורקת

הוצאת גורם משותף ופתרון

פריסת פתרונות בתחום

פתרונות כלליים