בשיעור זה לומדים כיצד למצוא נקודות קיצון של פונקציה טריגונומטרית באמצעות גזירת הנגזרת, פתרון משוואות והצבת ערכים בגרף. השיעור נותן דגש על זיהוי נקודות קיצון ותכונות פונקציה טריגונומטרית עם דגש על חישובים מדויקים ושימוש בזהויות טריגונומטריות.
ללמוד לגזור פונקציה טריגונומטרית ולהשתמש בכלל השרשרת
לפתור משוואה מסוג סינוס אפס ולמצוא את נקודות הקיצון
להשתמש בזהויות טריגונומטריות לפישוט הנגזרת
לזהות התנהגות של פונקציה לפי סימן הנגזרת
להבין את הקשר בין נקודות קיצון לנגזרת וחדות הפונקציה
גזירת פונקציה טריגונומטרית: מחשבים את הנגזרת של הפונקציה בעזרת כלל החזקה, נגזרת של קוסינוס ושרשרת.
מציאת נקודות קיצון: משווים את הנגזרת לאפס ומפתרים את המשוואה כדי למצוא את ערכי ה-X של נקודות הקיצון.
בדיקה והצבה בגבולות: מייצבים ערכי X שנמצאו אל הפונקציה המקורית ומחשבים ערכי Y, כדי לזהות התנהגות הפעילות והתפיחות בגרף.
סקירת הצורה הכללית של הפונקציה: מציירים את גרף הפונקציה בהתבסס על נקודות קיצון וערכי השיפועים כדי לזהות אם הפונקציה עולה או יורדת, ומעריכים את חדות הפונקציה בנקודות הקיצון.

תרגול קצר

גזירת פונקציה טריגונומטרית פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

גזור את הפונקציה y = cos^2(x) והצג את הנגזרת בפישוט מלא.

נגזרותטריגונומטריהכלל השרשרת

רמז: השתמש בכלל השרשרת ונגזרת של קוסינוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: y' = -2 sin(x) cos(x)

הנגזרת של y היא 2 cos(x) * [נגזרת cos(x)] = 2 cos(x) * (-sin(x)) = -2 sin(x) cos(x).

מציאת נקודות קיצון לפונקציה נתונה

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה y = cos^2(x) בתחום [0, 2π]

נקודות קיצוןמשוואות טריגונומטריותטריגונומטריה

רמז: שווה את הנגזרת לאפס ופתור את המשוואה sin(2x) = 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: x ∈ {0, π/2, π, 3π/2, 2π}

הנגזרת היא y' = -2 sin(x) cos(x) = - sin(2x). שווה לאפס: sin(2x) = 0 => 2x = πk => x = πk/2. בתחום [0, 2π] נקודות קיצון הן: x=0, π/2, π, 3π/2, 2π.

חקירה מלאה של פונקציה טריגונומטרית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חקור את הפונקציה y = cos^2(x) בתחום כלשהו כולל נקודות קיצון, תחומי עליה וירידה ושרטוט גרפי.

חקירה פונקציונליתטריגונומטריהנקודות קיצוןשרטוט

רמז: השתמש בנגזרת המצטברת, זהויות טריגונומטריות, וניתוח סימני הנגזרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קיצון: x=πk/2, עליה וירידה מחזורית בהתאם לסימן הנגזרת.

נגזרת: y' = - sin(2x). נקודות קיצון: x = πk/2. עלייה כשהנגזרת חיובית (sin(2x) < 0) וירידה כשהנגזרת שלילית. שרטוט מחזורי עם נקודות מינימום ומקסימום בהתאם לפתרונות.

פתרון משוואה טריגונומטרית לבגרות

רמת קושי: בגרות

ממתין

פתור את המשוואה sin(2x) = 0 בתחום [0, 2π] ומצא את נקודות הקיצון של הפונקציה y = cos^2(x)

בגרותטריגונומטריהמשוואותנקודות קיצון

רמז: פתור ראשית את sin(2x) = 0, ואז הצב את הפתרונות בפונקציה המקורית.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קיצון ב x=0, π/2, π, 3π/2, 2π

sin(2x)=0 => 2x=πk, x=πk/2. בתחום [0, 2π] x=0, π/2, π, 3π/2, 2π הם נקודות קיצון. ערכי y בפונקציה y = cos^2(x) מחושבים בהתאם לפתרונות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת נקודות קיצון של פונקציה טריגונומטרית

למצוא נקודות קיצון של y = cos^2(x)

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות הקיצון של הפונקציה
נתון 1
נתון 1
y = cos^2(x)
נתון 2
תחום x ∈ [0, 2π]
רעיון
הרעיון המרכזי
גזור את הפונקציה, שקול את הנגזרת, פתח את המשוואה שקיבלת וסמן את נקודות הקיצון בתחום.
נוסחה
קבע y' = 0 ופשוט את המשוואה.
sin(2x) = 0(2x) = 0
משוואה
מצא את כל הפתרונות למשוואת sin(2x) = 0 בתחום המבוקש.
מצא את כל הפתרונות למשוואת sin(2x) = 0 בתחום המבוקש.
פישוט
בחר את הערכים המתאימים של x בטווח [0, 2π].
בחר את הערכים המתאימים של x בטווח [0, 2π].
תוצאה
מסיימים בתשובה
סמן את נקודות הקיצון וחשב ערכי y בהתאם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה והתחום

מה עושים

ידוע הפונקציה y = cos^2(x) והתחום x בין 0 ל-2π.

למה

עלינו לדעת מה הפונקציה ומה התחום בו נחקור אותה.

בחירת שיטה

חשב את הנגזרת

מה עושים

חשוב את נגזרת הפונקציה בעזרת כלל השרשרת.

למה

הנגזרת תעזור לנו למצוא את נקודות הקיצון שלה.

y' = d/dx (cos^2(x))

נוסחה / הצבה

y' = -2 sin(x) cos(x)y' = 2 cos(x) * (-sin(x)) = -2 sin(x) cos(x)y' = -2 (x) (x)

זכור לנצל את נגזרת הקוסינוס ואת כלל השרשרת.

בניית משוואה

שווה את הנגזרת לאפס

מה עושים

קבע y' = 0 ופשוט את המשוואה.

למה

נקודות בהם הנגזרת שווה לאפס הן מועמדות לנקודות קיצון.

-2 sin(x) cos(x) = 0

נוסחה / הצבה

sin(2x) = 0(2x) = 0

השתמש בזהות sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).

פתרון

פתור את המשוואה

מה עושים

מצא את כל הפתרונות למשוואת sin(2x) = 0 בתחום המבוקש.

למה

הפתרונות הללו הם נקודות ה-X של נקודות הקיצון.

2x = πk ⇒ x = πk/2

k הוא מספר שלם, יש לבחור את הפתרונות בתחום [0,2π].

פתרון

בחר פתרונות בתחום

מה עושים

בחר את הערכים המתאימים של x בטווח [0, 2π].

למה

רק הפתרונות בתחום זה רלוונטיים לשאלה.

x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π

תשובה

סכם נקודות הקיצון

מה עושים

סמן את נקודות הקיצון וחשב ערכי y בהתאם.

למה

כעת יש לנו את נקודות הקיצון המדויקות והרלוונטיות.

x ∈ {0, π/2, π, 3π/2, 2π}

הצבת x בפונקציה תיתן את ערכי y בנקודות אלו.

פתרונות כלליים

גזירת פונקציה טריגונומטרית פשוטה: הנגזרת של y היא 2 cos(x) * [נגזרת cos(x)] = 2 cos(x) * (-sin(x)) = -2 sin(x) cos(x).
מציאת נקודות קיצון לפונקציה נתונה: הנגזרת היא y' = -2 sin(x) cos(x) = - sin(2x). שווה לאפס: sin(2x) = 0 => 2x = πk => x = πk/2. בתחום [0, 2π] נקודות קיצון הן: x=0, π/2, π, 3π/2, 2π.
חקירה מלאה של פונקציה טריגונומטרית: נגזרת: y' = - sin(2x). נקודות קיצון: x = πk/2. עלייה כשהנגזרת חיובית (sin(2x) < 0) וירידה כשהנגזרת שלילית. שרטוט מחזורי עם נקודות מינימום ומקסימום בהתאם לפתרונות.
פתרון משוואה טריגונומטרית לבגרות: sin(2x)=0 => 2x=πk, x=πk/2. בתחום [0, 2π] x=0, π/2, π, 3π/2, 2π הם נקודות קיצון. ערכי y בפונקציה y = cos^2(x) מחושבים בהתאם לפתרונות.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג3. חקירה של פונקציה טריגינומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודות הקיצון של הפונקציה

נתון 1

תחום x ∈ [0, 2π]

הרעיון המרכזי

קבע y' = 0 ופשוט את המשוואה.

מצא את כל הפתרונות למשוואת sin(2x) = 0 בתחום המבוקש.

בחר את הערכים המתאימים של x בטווח [0, 2π].

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה והתחום

חשב את הנגזרת

שווה את הנגזרת לאפס

פתור את המשוואה

בחר פתרונות בתחום

סכם נקודות הקיצון

פתרונות כלליים