בשיעור זה נלמד כיצד לחקור פונקציה טריגונומטרית עם שני פרמטרים בעזרת שתי משוואות, שימוש בנקודות קיצון, גזירה, והשוואת ערכים במחשבון למציאת הפרמטרים A ו-B.
להבין כיצד להשתמש בנקודות קיצון כדי למצוא פרמטרים בפונקציה טריגונומטרית
לרשום משוואות מתמטיות מפורטות על סמך נתונים בעייתיים
לחשב את נגזרת הפונקציה ולהציב ערכים מתאימים
לבצע פישוט אלגברי לפתרון מערכת המשוואות
לבדוק פתרונות בעזרת מחשבון ולוודא נכונות
להכין בקרה למסקנות שהוסקו על ידי חשיבה מתמטית ומעשית
הצגת הפונקציה והפרמטרים: הפונקציה הטריגונומטרית נתונה עם שני פרמטרים A ו-B, ויש צורך למצוא אותם.
הגדרת המשוואות על סמך נקודת קיצון: מציבים נקודת קיצון ומקבלים את ערכי הפונקציה ונגזרתה בנקודה כדי לנסח את שתי המשוואות הדרושות.
חישוב ערכים טריגונומטריים במחשבון: חישוב סינוס וקוסינוס של זוויות 4π/3 ו-2π/3 לצורך הצבה במשוואות שמנוסחות.

תרגול קצר

מציאת הפרמטרים A ו-B בפונקציה טריגונומטרית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = A sin 4π/3 x + B sin 2π/3 x עם נקודת קיצון בנקודה x = 2/3 והערכים y = -3 ו-y' = 0 בנקודה זו. מצאו את הערכים של A ו-B.

פונקציה טריגונומטריתנקודת קיצוןפתרון מערכת משוואות

רמז: הרכיבו שתי משוואות ע"פ נתוני נקודת הקיצון – ערך הפונקציה וערך הנגזרת בנקודה.

פתרון מלא

תשובה סופית: A = 1, B = -2

1. הציבו x = 2/3 בפונקציה כדי לקבל משוואה ראשונה y = A*sin(4π/3) + B*sin(2π/3) = -3. 2. חשבו את הנגזרת y' = A * (4π/3) * cos(4π/3) + B * (2π/3) * cos(2π/3). \tהציבו x=2/3 בנגזרת כדי לקבל y' = 0. 3. בצעו כפילות של המשוואות בפקטורים מתאימים ופשטו אותן. 4. פתרו את המערכת לקבלת A וב. 5. בדקו את הערכים בעזרת המחשבון לאימות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת פרמטרים בפונקציה טריגונומטרית

פתרון פונקציה y = A sin 4π/3 + B sin 2π/3 עם נקודת קיצון

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך A / ערך B
נתון 1
נתון 1
פונקציה y = A sin(4π/3) + B sin(2π/3)
נתון 2
נתון 2
נקודת קיצון בנקודת x = 2/3
נתון 3
y בנקודה זו שווה -3
רעיון
הרעיון המרכזי
צורו שתי משוואות לפי פונקציית היעד והנגזרת בנקודה, פתרו את מערכת המשוואות לקבלת A ו-B.
נוסחה
הכנס את x=2/3 לתוך פונקציית y וכתוב את המשוואה.
y = A * sin(4π/3) + B * sin(2π/3) = -3y = A (4)/(3) + B (2)/(3) = -3
משוואה
חשב את הנגזרת ובצע הצבה ב-x=2/3 שווה 0.
חשב את הנגזרת ובצע הצבה ב-x=2/3 שווה 0.
y' = A * (4π/3) * cos(4π/3) + B * (2π/3) * cos(2π/3) = 0y' = A (4)/(3) (4)/(3) + B (2)/(3) (2)/(3) = 0
פישוט
החלף את B במשוואה הראשונה ופתור את A, לאחר מכן חשב את B.
החלף את B במשוואה הראשונה ופתור את A, לאחר מכן חשב את B.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הצבת ערכי הפונקציה בנקודה

מה עושים

הכנס את x=2/3 לתוך פונקציית y וכתוב את המשוואה.

למה

מהווה משוואה ראשונה עם A ו-B.

y = A sin(4π/3) + B sin(2π/3) = -3

נוסחה / הצבה

y = A * sin(4π/3) + B * sin(2π/3) = -3y = A (4)/(3) + B (2)/(3) = -3

חשוב להכניס סוגריים נכונים בעת החישוב.

זיהוי נתונים

הצבת ערכי הנגזרת בנקודה

מה עושים

חשב את הנגזרת ובצע הצבה ב-x=2/3 שווה 0.

למה

קבלת המשוואה השנייה לפתרון הפרמטרים.

y' = A (4π/3) cos(4π/3) + B (2π/3) cos(2π/3) = 0

נוסחה / הצבה

y' = A * (4π/3) * cos(4π/3) + B * (2π/3) * cos(2π/3) = 0y' = A (4)/(3) (4)/(3) + B (2)/(3) (2)/(3) = 0

אל תשכח מכפלה בנגזרת הפנימית.

בחירת שיטה

פישוט המשוואות וגזירת פרמטרים

מה עושים

הכפל את המשוואות ב-2 והוצא גורם משותף בפונקציות הטריגונומטריות.

למה

לפשט את המשוואות להישארות בביטויים לינאריים של A ו-B.

מכפילים ב-2 ונבטל שורשי 3 כדי לקבל משוואות פשוטות יותר.

זכור לשים לב לסימנים ולמקדמים.

בניית משוואה

משוואות פשוטות לפי A ו-B

מה עושים

קבל משוואה ראשונה: -3 = -A + B ומשוואה שנייה: -2A - B = 0.

למה

מתקבלת מערכת לינארית פשוטה לפתרון.

מערכת: -3 = -A + B ; 0 = -2A - B

סדר נכון של משתנים אוניברסלי לפתרון קל.

פתרון

פתור את מערכת המשוואות

מה עושים

החלף את B במשוואה הראשונה ופתור את A, לאחר מכן חשב את B.

למה

קבלת ערכים ספציפיים של הפונקציה.

B = -2A => -3 = -A - 2A => A=1; B = -2

אל תשכח לבדוק שהפתרון מספק את שתי המשוואות.

תשובה

קבלת הפרמטרים

מה עושים

הפרמטרים הם A=1 ו-B=-2

למה

משמעות הפתרון לפונקציה.

A = 1; B = -2

רישום ברור ונקי מונע טעויות בהעתקה.

פתרונות כלליים

מציאת הפרמטרים A ו-B בפונקציה טריגונומטרית: 1. הציבו x = 2/3 בפונקציה כדי לקבל משוואה ראשונה y = A*sin(4π/3) + B*sin(2π/3) = -3. 2. חשבו את הנגזרת y' = A * (4π/3) * cos(4π/3) + B * (2π/3) * cos(2π/3). \tהציבו x=2/3 בנגזרת כדי לקבל y' = 0. 3. בצעו כפילות של המשוואות בפקטורים מתאימים ופשטו אותן. 4. פתרו את המערכת לקבלת A וב. 5. בדקו את הערכים בעזרת המחשבון לאימות.

הפריט הקודם הפריט הבא

ד1. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת פרמטרים בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך A / ערך B

נתון 1

נתון 2

y בנקודה זו שווה -3

הרעיון המרכזי

הכנס את x=2/3 לתוך פונקציית y וכתוב את המשוואה.

חשב את הנגזרת ובצע הצבה ב-x=2/3 שווה 0.

החלף את B במשוואה הראשונה ופתור את A, לאחר מכן חשב את B.

פתרון מפורט

הצבת ערכי הפונקציה בנקודה

הצבת ערכי הנגזרת בנקודה

פישוט המשוואות וגזירת פרמטרים

משוואות פשוטות לפי A ו-B

פתור את מערכת המשוואות

קבלת הפרמטרים

פתרונות כלליים