השיעור עוסק בהבנת המעברים הטריגונומטריים בזוויות עם הצירים הראשיים (0, 90, 180, 270, 360 מעלות) באמצעות פיתוח נוסחאות טריגונומטריות ושימוש בשיטת השם והסימן לפישוט. נלמד כיצד להמיר ביטויים כמו סינוס וקוסינוס בזוויות בצורת תוספת או חיסור של הזוויות הראשיות, ונתרגל טכניקות לזיהוי סימנים והחלפות בפונקציות הטריגונומטריות ברבעים השונים במעגל היחידה.
להכיר את זוויות הצירים הראשיים במעגל הטריגונומטרי ולהבין את חשיבותן
לפתח ביטויים טריגונומטריים תוך שימוש בנוסחאות סכום והפרש זוויות
להבין וליישם את שיטת השם והסימן לקביעת פונקציות וזיהוי סימנים בפונקציות טריגונומטריות
לנתח ולהמיר מופעים של סינוס, קוסינוס וטנגנס בזוויות עם צירים ראשיים לפורמות פשוטות יותר
להשתמש בטכניקות אלו לפתרון תרגילים מורכבים בבגרות ברמת 4 יחידות
הצירים הראשיים במעגל הטריגונומטרי: הצירים 0, 90, 180, 270, 360 מעלות במעגל הטריגונומטרי הם זוויות שמעניקות בסיס לפיתוח נוסחאות טריגונומטריות.
פיתוח נוסחאות סכום והפרש זוויות: הצגת הנוסחאות הבסיסיות לסינוס וקוסינוס של סכום והפרש זוויות, והצמדתן ליישומים בצירים הראשיים.
החלפות ושינויים בפונקציות לפי זוויות וצירי מעגל: דוגמאות לפיתוח ביטויים טריגונומטריים כמו סינוס 90+א, קוסינוס 270-א וירידה לפורמט פשוט באמצעות החלפות ופישוטים.
שיטת השם והסימן: הכרת שיטה יעילה לזיהוי סימנים והחלפות פונקציות טריגונומטריות ברבעים השונים הנקראת שיטת השם והסימן.

תרגול קצר

פיתוח סינוס 90 + אלפה

רמת קושי: קל

ממתין

פתחו ורשמו את הביטוי: סינוס של 90 מעלות ועוד זווית אלפה, תוך שימוש בנוסחת סכום זוויות.

טריגונומטריהסכום זוויותסינוס

רמז: הציבו 90 במקום הראשון ואלפה במקום השני בנוסחת סינוס סכום.

פתרון מלא

תשובה סופית: קוסינוס אלפה

סינוס (90 + אלפה) = סינוס 90 * קוסינוס אלפה + קוסינוס 90 * סינוס אלפה סינוס 90 = 1, קוסינוס 90 = 0 לכן הביטוי שווה לקוסינוס אלפה.

פישוט קוסינוס 270 - אלפה

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את הפישוט של הביטוי: קוסינוס של 270 מינוס זווית אלפה בעזרת הנוסחאות והחלפות פונקציות.

טריגונומטריההפרש זוויותקוסינוס

רמז: השתמש בנוסחת הפרש הזוויות והערך של קוסינוס וסינוס של 270°. לאחר מכן פשט מונחים.

פתרון מלא

תשובה סופית: - סינוס אלפה

קוסינוס (270 - אלפה) = קוסינוס 270 * קוסינוס אלפה + סינוס 270 * סינוס אלפה קוסינוס 270=0, סינוס 270=-1 לכן הביטוי שווה ל- - סינוס אלפה.

השוואת ביטויים טריגונומטריים עם צירים ראשיים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הוכיחו ששני הביטויים א) סינוס (90 + אלפה) ב) קוסינוס (270 - אלפה) זהים לאחר פישוט.

טריגונומטריההשוואהפיתוח

רמז: פתח כל אחד מהביטויים בנפרד באמצעות נוסחאות סכום והפרש, ובהמשך בחרש סימנים נכונים לפי הרביעים.

פתרון מלא

תשובה סופית: שימו לב שיש קשר בכיוון הסימנים אך לא שוויון פשוט בין שני הביטויים

סינוס (90 + אלפה) = קוסינוס אלפה קוסינוס (270 - אלפה) = - סינוס אלפה אבל נסו לבדוק על ערכי אלפה שונים ב-0 עד 90 בפועל הזוגיות והסימנים יביאו לשוויון או להבדל של מינוס בהתאם לגבולות. שים לב: קיימת טעות בתמלול אין שוויון מדויק אלא הקשר בין הסימנים שצריך להיות מובן.

המרת ביטוי טריגונומטרי לשם הסימן

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון הביטוי סינוס (180 - אלפה). פשטו אותו וכיתבו אותו באמצעות פונקציה אחרת אם יש צורך, וציינו את הסימן בביטוי התוצאה לפי רביע הזווית.

טריגונומטריההפרש זוויותסימן

רמז: השתמשו בנוסחת הפרש זוויות ובדקו באיזה רביע נמצאת הזווית כדי לקבוע סימן.

פתרון מלא

תשובה סופית: סינוס אלפה

סינוס (180 - אלפה) = סינוס 180 * קוסינוס אלפה - קוסינוס 180 * סינוס אלפה סינוס 180=0, קוסינוס 180=-1 לכן הביטוי שווה ל- סינוס אלפה בסימן, ברביע השני סינוס חיובי.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פישוט הביטוי: סינוס (90 + אלפה)

יישום נוסחת סכום זוויות לפיתוח ביטוי טריגונומטרי

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא פישוט הביטוי סינוס (90 + אלפה)
נתון 1
זווית 90 מעלות
נתון 2
זווית אלפה
נתון 3
נוסחת סינוס סכום זוויות
רעיון
הרעיון המרכזי
הציבו את הזוויות בנוסחת סינוס סכום זוויות ופשטו תוך שימוש בערכי הפונקציות של זווית 90 מעלות.
נוסחה
נשאר רק קוסינוס אלפה
סינוס 90 כפול קוסינוס אלפה ועוד קוסינוס 90 כפול סינוס אלפהשווה קוסינוס אלפהסינוס 90 * קוסינוס אלפה+ קוסינוס 90 * סינוס אלפה= קוסינוס אלפה
משוואה
הציב במקום Alfa את 90 ובמקום Beta את אלפה
הציב במקום Alfa את 90 ובמקום Beta את אלפה
פישוט
סינוס 90=1, קוסינוס 90=0, הציבם במקום המתאים
סינוס 90=1, קוסינוס 90=0, הציבם במקום המתאים

החלק השני מתאפס, ולכן הביטוי מצטמצם.

סינוס (90 + אלפה) = קוסינוס אלפה

נוסחה / הצבה

סינוס 90 כפול קוסינוס אלפה ועוד קוסינוס 90 כפול סינוס אלפהשווה קוסינוס אלפהסינוס 90 * קוסינוס אלפה+ קוסינוס 90 * סינוס אלפה= קוסינוס אלפה

בדקו תמיד את ערכי הפונקציות בזוויות מיוחדות לפני פיתוח נוסף.

פתרונות כלליים

פיתוח סינוס 90 + אלפה: סינוס (90 + אלפה) = סינוס 90 * קוסינוס אלפה + קוסינוס 90 * סינוס אלפה סינוס 90 = 1, קוסינוס 90 = 0 לכן הביטוי שווה לקוסינוס אלפה.
פישוט קוסינוס 270 - אלפה: קוסינוס (270 - אלפה) = קוסינוס 270 * קוסינוס אלפה + סינוס 270 * סינוס אלפה קוסינוס 270=0, סינוס 270=-1 לכן הביטוי שווה ל- - סינוס אלפה.
השוואת ביטויים טריגונומטריים עם צירים ראשיים: סינוס (90 + אלפה) = קוסינוס אלפה קוסינוס (270 - אלפה) = - סינוס אלפה אבל נסו לבדוק על ערכי אלפה שונים ב-0 עד 90 בפועל הזוגיות והסימנים יביאו לשוויון או להבדל של מינוס בהתאם לגבולות. שים לב: קיימת טעות בתמלול אין שוויון מדויק אלא הקשר בין הסימנים שצריך להיות מובן.
המרת ביטוי טריגונומטרי לשם הסימן: סינוס (180 - אלפה) = סינוס 180 * קוסינוס אלפה - קוסינוס 180 * סינוס אלפה סינוס 180=0, קוסינוס 180=-1 לכן הביטוי שווה ל- סינוס אלפה בסימן, ברביע השני סינוס חיובי.

הפריט הקודם הפריט הבא

א5. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן

ניווט לפי נושאים

האלגברה של הטריגונומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא פישוט הביטוי סינוס (90 + אלפה)

זווית 90 מעלות

זווית אלפה

נוסחת סינוס סכום זוויות

הרעיון המרכזי

נשאר רק קוסינוס אלפה

הציב במקום Alfa את 90 ובמקום Beta את אלפה

סינוס 90=1, קוסינוס 90=0, הציבם במקום המתאים

פתרון מפורט

הביטוי המקורי

נוסחת סינוס סכום זוויות

החלפת האותיות בנוסחה

חשב את ערך סינוס 90 וקוסינוס 90

פישוט הביטוי הסופי

פתרונות כלליים