וידאו · האלגברה של הטריגונומטריה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א5. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן
א6. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן
א7. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א8. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א9. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א10. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
הוכחת זהות סינוס זווית כפולה
רמת קושי: קל
הוכיחו כי sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) באמצעות החלפת ביטוי הסינוס בתור טנגנס חלקי קוסינוס.
רמז: החליפו את sin(α) ב tan(α) cos(α) והמשיכו לפשט
תשובה סופית: sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)
נתחיל מהצד הימני: 2 sin(α) cos(α) נחליף sin(α) ב tan(α) cos(α) כדי לקבל: 2 tan(α) cos(α) * cos(α) = 2 tan(α) cos²(α) נציין כי tan(α) = sin(α)/cos(α), לכן 2 tan(α) cos²(α) = 2 (sin(α)/cos(α)) * cos²(α) = 2 sin(α) cos(α) חזרנו לזהות המקורית, ולכן הוכחנו את הזהות
sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)
הגדרה של טנגנס α = sin(α)/cos(α)להחליף את sin(α) ב tan(α) cos(α) ולפשט את הביטוי בצד ימין
2 tan(α) cos(α) cos(α)2 tan(α) cos(α) * cos(α)2 () ^2()מציבים את הנתונים במשוואה.
כתוב tan(α) = sin(α)/cos(α)
סיכום זהות sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) הוכחה
sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)(2) = 2 () ()השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
כתוב tan(α) = sin(α)/cos(α)
למה
מכך נוכל להחליף ביטויים ולהפוך אותם לאותן פונקציות טריגונומטריות
ננצל את ההגדרה על מנת להכין את הביטוי לפישוט
בחירת שיטה
מה עושים
נחליף sin(α) בביטוי tan(α) cos(α)
למה
כדי להביע את סינוס בזווית α באמצעות טנגנס וקוסינוס בלבד
נכין את הביטוי לפישוט בהמשך
בניית משוואה
מה עושים
נכתוב 2 sin(α) cos(α) בתור 2 tan(α) cos(α) כאשר sin(α) הוחלף
למה
כדי להתקדם לפישוט לפי ההגדרה של טנגנס
נוסחה / הצבה
2 tan(α) cos(α) cos(α)2 tan(α) cos(α) * cos(α)2 () ^2()זכור להכפיל בכל הפונקציות כדי לא לאבד גורמים
פתרון
מה עושים
נשתמש בטנגנס כהיחס בין סינוס לקוסינוס בפישוט הביטוי
למה
כדי לצמצם ולהחזיר בפועל לביטוי שממנו התחלנו
2 tan(α) cos²(α) הופך ל- 2 (sin(α)/cos(α)) cos²(α) = 2 sin(α) cos(α)
נוסחה / הצבה
2 (sin(α) / cos(α)) * cos²(α) = 2 sin(α) cos(α)2 (sin(α)/cos(α)) cos^2(α) = 2 sin(α) cos(α)2 (())/(()) ^2() = 2 () ()חשוב להצמיד ולהפשט במדויק את גורמי הפונקציות
תשובה
מה עושים
סיכום זהות sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) הוכחה
למה
זהו הביטוי המקורי שרצינו להוכיח
לכן הביטוי מוכח כנכון בשיטת החלפה ופישוט משולבת
נוסחה / הצבה
sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)(2) = 2 () ()