השיעור מתמקד בהבנת זהויות יסודיות בטריגונומטריה באמצעות אלגברה, דגש על שימוש בנוסחות כפל מקוצר והפשטת ביטויים טריגונומטריים מורכבים.
להכיר וליישם את נוסחת ההפרש בריבועים (A בריבוע פחות B בריבוע) להמרת ביטויים טריגונומטריים
להבין כיצד לקבץ ולפשט ביטויים עם סינוסים וקוסינוסים
להעריך את חשיבות ביטויים ללא מכנים בפישוט ומציאת הפתרונות
להבין את הקשר בין אלגברה לטריגונומטריה בפישוט זהויות
סקירת נוסחת ההפרש בריבועים: הצגת הנוסחה A בריבוע פחות B בריבוע = (A פחות B)(A ועוד B) וכיצד היא קשורה לתרגיל הטריגונומטרי.
פרשנות אלגברית לביטוי הטריגונומטרי: קיבוץ ביטוי המכיל סינוס בריבוע Alpha פחות קוסינוס בריבוע Alpha על ידי שימוש בנוסחת כפל מקוצר, והפחתת מכנים.

תרגול קצר

פישוט ביטוי טריגונומטרי בסיסי

רמת קושי: קל

ממתין

פשטו את הביטוי הבא: (סינוס אלפא בריבוע פחות קוסינוס אלפא בריבוע) חלקי (סינוס אלפא פחות קוסינוס אלפא) ועוד סינוס אלפא חלקי קוסינוס אלפא.

זהויות טריגונומטריותכפל מקוצרפישוט ביטויים

רמז: השתמשו בנוסחת ההפרש בריבועים עבור החלק הראשון ובסימון אלגברי מתאים.

פתרון מלא

תשובה סופית: (סינוס אלפא ועוד קוסינוס אלפא) ועוד (סינוס אלפא חלקי קוסינוס אלפא)

החלק הראשון של הביטוי הוא פרש ריבועים, לכן סינוס בריבוע אלפא פחות קוסינוס בריבוע אלפא = (סינוס אלפא פחות קוסינוס אלפא)(סינוס אלפא ועוד קוסינוס אלפא). חלק מהביטוי מחולק בסינוס אלפא פחות קוסינוס אלפא, לכן ניתן לקצר ולהשאיר סינוס אלפא ועוד קוסינוס אלפא. הביטוי הנוסף הוא סינוס אלפא חלקי קוסינוס אלפא. בסיכום, הביטוי שווה לסינוס אלפא ועוד קוסינוס אלפא ועוד סינוס אלפא חלקי קוסינוס אלפא.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פישוט ביטוי טריגונומטרי בעזרת נוסחת הפרש ריבועים

מדריך שלב אחר שלב לפישוט ביטוי המכיל סינוס וקוסינוס

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא פישוט הביטוי הנתון
נתון 1
סינוס בריבוע אלפא
נתון 2
קוסינוס בריבוע אלפא
נתון 3
סינוס אלפא
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בנוסחת הפרש ריבועים כדי לקצר ביטוי ולהפשט אותו עם ביטויים טריגונומטריים נוספים.
נוסחה
מחליפים את החלק הראשון בביטוי לפי נוסחת הפרש ריבועים.
(סינוס אלפא מינוס קוסינוס אלפא)(סינוס אלפא ועוד קוסינוס אלפא) חלקי (סינוס אלפא מינוס קוסינוס אלפא) ועוד (סינוס אלפאחלקי קוסינוס אלפא)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
קוצרים את (סינוס אלפא מינוס קוסינוס אלפא) מהמכנה והמונה.
קוצרים את (סינוס אלפא מינוס קוסינוס אלפא) מהמכנה והמונה.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הבנת הנתונים

מה עושים

מזהים את החלקים בביטוי: סינוס בריבוע אלפא, קוסינוס בריבוע אלפא, סינוס אלפא, וקוסינוס אלפא.

למה

יש להכיר את המשתנים על מנת להבין כיצד לפשט אותם.

בחירת שיטה

הכרה בנוסחת הפרש ריבועים

מה עושים

מזהים ש-(סינוס אלפא)^2 מינוס (קוסינוס אלפא)^2 הוא הפרש ריבועים.

למה

אפשר לפרק את הביטוי בעזרת נוסחת כפל מקוצר ולפשטו.

נוסחה / הצבה

A בריבוע מינוס B בריבוע שווה (A מינוס B) כפול (A ועוד B)A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)A^(2) - B^(2) = (A - B)(A + B)

חשוב לזהות דפוסים אלגבריים בתוך ביטויים טריגונומטריים.

בניית משוואה

כתיבת הביטוי מחדש

מה עושים

מחליפים את החלק הראשון בביטוי לפי נוסחת הפרש ריבועים.

למה

שינוי זה יאפשר קיצור עם המכנה.

נוסחה / הצבה

(סינוס אלפא מינוס קוסינוס אלפא)(סינוס אלפא ועוד קוסינוס אלפא) חלקי (סינוס אלפא מינוס קוסינוס אלפא) ועוד (סינוס אלפאחלקי קוסינוס אלפא)

שימו לב לטפסים החוזרים כדי לבצע קיצורים.

פתרון

קיצור הביטוי

מה עושים

קוצרים את (סינוס אלפא מינוס קוסינוס אלפא) מהמכנה והמונה.

למה

כך מתקבל ביטוי מפושט יותר.

תשובה

כתיבת התוצאה הסופית

מה עושים

נותנים את הביטוי המקוצר: (סינוס אלפא ועוד קוסינוס אלפא) ועוד (סינוס אלפא חלקי קוסינוס אלפא).

למה

המשימה הושלמה בפישוט הביטוי לתוצאה הברורה ביותר.

פתרונות כלליים

פישוט ביטוי טריגונומטרי בסיסי: החלק הראשון של הביטוי הוא פרש ריבועים, לכן סינוס בריבוע אלפא פחות קוסינוס בריבוע אלפא = (סינוס אלפא פחות קוסינוס אלפא)(סינוס אלפא ועוד קוסינוס אלפא). חלק מהביטוי מחולק בסינוס אלפא פחות קוסינוס אלפא, לכן ניתן לקצר ולהשאיר סינוס אלפא ועוד קוסינוס אלפא. הביטוי הנוסף הוא סינוס אלפא חלקי קוסינוס אלפא. בסיכום, הביטוי שווה לסינוס אלפא ועוד קוסינוס אלפא ועוד סינוס אלפא חלקי קוסינוס אלפא.

הפריט הקודם הפריט הבא

א2. זהויות יסודיות בטריגונומטריה

ניווט לפי נושאים

האלגברה של הטריגונומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא פישוט הביטוי הנתון

סינוס בריבוע אלפא

קוסינוס בריבוע אלפא

סינוס אלפא

הרעיון המרכזי

מחליפים את החלק הראשון בביטוי לפי נוסחת הפרש ריבועים.

נבנה משוואה

קוצרים את (סינוס אלפא מינוס קוסינוס אלפא) מהמכנה והמונה.

פתרון מפורט

הבנת הנתונים

הכרה בנוסחת הפרש ריבועים

כתיבת הביטוי מחדש

קיצור הביטוי

כתיבת התוצאה הסופית

פתרונות כלליים