MMATH
התחברות

וידאו · האלגברה של הטריגונומטריה

א3. זהויות יסודיות בטריגונומטריה

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
וידאו

א1. זהויות יסודיות בטריגונומטריה

וידאו

א2. זהויות יסודיות בטריגונומטריה

וידאו

א3. זהויות יסודיות בטריגונומטריה

וידאו

א4. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן

וידאו

א5. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן

וידאו

א6. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן

וידאו

א7. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה

וידאו

א8. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה

וידאו

א9. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה

וידאו

א10. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה

סיכום שיעור

  • הקדמה לזהויות טריגונומטריות בסיסיות והבנת מבנה המשוואות באמצעות גורם משותף ואלגברה.
  • להכיר זהויות טריגונומטריות יסודיות
  • ליישם פעולות אלגבריות על ביטויים טריגונומטריים
  • לזהות ולהשתמש בגורם משותף ובנוסחאות אלגבריות
  • לתרגל פישוט משוואות טריגונומטריות
  • הצגת השלוש המפלצות הטריגונומטריות: הצגת שלוש זהויות טריגונומטריות מרכזיות שהן בסיס לפישוט ביטויים.
  • שיטות אלגבריות בפישוט זהויות: שימוש בגורם משותף ובנוסחאות ריבועים להוצאה לפועל וארגון ביטויים טריגונומטריים.

תרגול קצר

פישוט ביטוי טריגונומטרי בסיסי

רמת קושי: קל

ממתין

פשטו את הביטוי הבא: sin^2(α) + cos^2(α)

זהויות טריגונומטריותפישוט ביטויים

רמז: השתמשו בזהות היסודית של הפיתגורס בטריגונומטריה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1

sin^2(α) + cos^2(α) = 1

פישוט ביטוי עם גורם משותף

רמת קושי: בינוני

ממתין

פשטו את הביטוי: sin(α)*(1 - sin(α))/[cos(α)*(1 - cos^2(α))]

פישוט ביטוייםגורם משותףזהויות טריגונומטריות

רמז: הוציאו גורם משותף ובצעו שימוש בזהויות טריגונומטריות.

פתרון מלא

תשובה סופית: cot(α)

נוציא sin(α) במונה ונזהה ש-1 - cos^2(α) = sin^2(α) במכנה נפשט ונקבל cos(α)/sin(α) או cot(α)

פישוט ביטוי מורכב עם טנגנס וקוטנגנס

רמת קושי: מאתגר

ממתין

פשטו את הביטוי: (tan^2(α) - 2 tan(α) cot(α) + cot^2(α))

טנגנסקוטנגנספישוט מתמטינוסחאות ריבוע

רמז: השתמשו בהגדרות טנגנס וקוטנגנס, ובנוסחאות ריבוע סכום והפרש.

פתרון מלא

תשובה סופית: (tan(α) - cot(α))^2

tan^2(α) - 2 tan(α) cot(α) + cot^2(α) = (tan(α) - cot(α))^2 ידוע שטאנגנס * קוטנגנס = 1 כך הביטוי הוא (tan(α) - cot(α))^2

פישוט ובדיקה של זהות טריגונומטרית

רמת קושי: בגרות

ממתין

הראו שהביטוי sin²(α)/tan²(α) + cos²(α) שווה ל-1

זהויות טריגונומטריותפישוט ביטוייםבגרות

רמז: המירו את tan²(α) לביטוי בסינוס וקוסינוס, ואז פשטו.

פתרון מלא

תשובה סופית: כפי שנתון, לא שווה 1 - יש לבקש הבהרה

tan^2(α) = sin^2(α)/cos^2(α) לכן sin^2(α)/tan^2(α) = sin^2(α) / (sin^2(α)/cos^2(α)) = cos^2(α) אז הביטוי הוא cos^2(α) + cos^2(α) = 2 cos^2(α) נראה שהשאלה מחייבת בדיקה נוספת, אך הביטוי לא שווה 1 אלא 2 cos^2(α) יש לבדוק נוסח השאלה שוב.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פישוט ביטוי טריגונומטרי עם גורם משותף

דוגמה לפישוט של ביטוי המכיל sin ו-cos בריבוע

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא לפשט את הביטוי למונח פשוט יותר

  2. נתון 1

    sin(α)

  3. נתון 2

    cos(α)

  4. נתון 3

    נתון 3

    הביטוי: sin(α)(1 - sin(α)) / [cos(α)(1 - cos^2(α))]
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להוציא גורם משותף ולהשתמש בזהויות טריגונומטריות לפישוט

  6. נוסחה

    קיבלנו cot(α)

    קוט אלפא שווה קוס אלפא חלקי סין אלפאcot(α) = cos(α) / sin(α)() = (())/(())
  7. משוואה

    המכנה נהפך ל- cos(α) * sin^2(α)

    המכנה נהפך ל- cos(α) * sin^2(α)

  8. פישוט

    מבטלים גורמים משותפים בין מונה למכנה לחיסור מופשט

    מבטלים גורמים משותפים בין מונה למכנה לחיסור מופשט

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתון הביטוי

מה עושים

מתחילים עם sin(α)(1 - sin(α)) מעל cos(α)(1 - cos^2(α))

למה

זו הצורה הראשונית שהופיע בשאלה

הביטוי מחולק למונה ולמכנה כפי שניתן

2

בחירת שיטה

הוצאת גורם משותף במונה

מה עושים

נוציא sin(α) במונה לצורה sin(α) * (1 - sin(α))

למה

הוצאת גורם משותף מפשטת ביטויים ומחלקת אותם לחלקים מובנים

במקרה זה sin(α) משותף לשני חלקי המונה

3

בחירת שיטה

המרת 1 - cos^2(α)

מה עושים

נציין ש-1 - cos^2(α) = sin^2(α) לפי זהות פיתגורס

למה

תהפוך לחזקה של sin במכנה שתאפשר פישוט

משתמשים בזהות בסיסית בטריגונומטריה

4

בניית משוואה

הצבת זהות במכנה

מה עושים

המכנה נהפך ל- cos(α) * sin^2(α)

למה

פישוט הביטוי לפי זהות בולטת

מחליפים במכנה את הביטוי כדי להמשיך בפישוט

5

פתרון

צמצום ביטוי

מה עושים

מבטלים גורמים משותפים בין מונה למכנה לחיסור מופשט

למה

המטרה להגיע לביטוי פשוט ונקי יותר

הביטוי מצטמצם ל-cos(α) חלקי sin(α)

6

תשובה

הביטוי המפושט

מה עושים

קיבלנו cot(α)

למה

cot(α) מוגדר כ-cos(α) חלקי sin(α)

זה הפישוט הסופי של הביטוי הנתון

נוסחה / הצבה

קוט אלפא שווה קוס אלפא חלקי סין אלפאcot(α) = cos(α) / sin(α)() = (())/(())

פתרונות כלליים

  • פישוט ביטוי טריגונומטרי בסיסי: sin^2(α) + cos^2(α) = 1
  • פישוט ביטוי עם גורם משותף: נוציא sin(α) במונה ונזהה ש-1 - cos^2(α) = sin^2(α) במכנה נפשט ונקבל cos(α)/sin(α) או cot(α)
  • פישוט ביטוי מורכב עם טנגנס וקוטנגנס: tan^2(α) - 2 tan(α) cot(α) + cot^2(α) = (tan(α) - cot(α))^2 ידוע שטאנגנס * קוטנגנס = 1 כך הביטוי הוא (tan(α) - cot(α))^2
  • פישוט ובדיקה של זהות טריגונומטרית: tan^2(α) = sin^2(α)/cos^2(α) לכן sin^2(α)/tan^2(α) = sin^2(α) / (sin^2(α)/cos^2(α)) = cos^2(α) אז הביטוי הוא cos^2(α) + cos^2(α) = 2 cos^2(α) נראה שהשאלה מחייבת בדיקה נוספת, אך הביטוי לא שווה 1 אלא 2 cos^2(α) יש לבדוק נוסח השאלה שוב.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.