שיעור זה עוסק בשיטות גזירה של פונקציות בחזקות ומשוואות משיק לנקודה נתונה. נלמד כיצד לגזור פונקציות מסוג חזקה מוכפלת בקבוע, כיצד לחשב את ערך הפונקציה בנקודה, את הנגזרת בנקודה, ולנסח את משוואת המשיק.
לזהות ולהשתמש בכלל החזקה בגזירת פונקציות
לחשב ערך פונקציה בנקודה נתונה
לחשב נגזרת של פונקציה בנקודה
לנסח משוואת משיק לפונקציה בנקודה
להימנע מטעויות נפוצות בגזירה ופתרון משוואות משיק
הגדרת כלל החזקה בנגזרת: למדנו כי בעת גזירת ביטוי מהצורה A כפול x בחזקת n, יש להעתיק את הביטוי, להוריד את החזקה ב-1, ולהכפיל ב-n ו-A.
דוגמה: חישוב משוואת המשיק בנקודה: נתונה פונקציה, מחושבת ערך הפונקציה בנקודה נתונה, נגזרת בפונקציה בנקודה, ומהם מוצאים שיפוע שמשמש במשוואת משיק.

תרגול קצר

גזירת פונקציה פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

גזור את הפונקציה f(x) = 2x^3 - 3x^2.

גזירהכלל החזקה

רמז: העתק את המקדם, הורד את החזקה ב-1, וכפל בחזקה המקורית.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) = 6x^2 - 6x

נגזור לפי כללי החזקה: הנגזרת של 2x^3 היא 2*3*x^2 = 6x^2. הנגזרת של -3x^2 היא -3*2*x = -6x. לכן הנגזרת היא f'(x) = 6x^2 - 6x.

חישוב משוואת המשיק בנקודה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה f(x) = 2x^3 - 3x^2. חשב את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה x=1.

משוואת משיקחישוב נגזרתנקודה נתונה

רמז: חשב קודם את f(1) ו-f'(1), ואז השתמש במשוואת המשיק y - y0 = m(x - x0).

פתרון מלא

תשובה סופית: y = -1

חישוב ערך הפונקציה בנקודה: f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 = 2 - 3 = -1. חישוב נגזרת: f'(x) = 6x^2 - 6x. לכן f'(1) = 6(1)^2 - 6(1) = 6 - 6 = 0. משוואת המשיק היא y - (-1) = 0 * (x - 1), כלומר y = -1.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד לחשב משוואת משיק לפונקציה בנקודה

דוגמה ל-f(x) = 2x^3 - 3x^2 בנקודה x=1

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא משוואת המשיק לפונקציה בנקודה x=1
נתון 1
נתון 1
פונקציה f(x) = 2x^3 - 3x^2
נתון 2
נתון 2
נקודה x=1
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את ערך הפונקציה בנקודה, נגזור את הפונקציה, נמצא את השיפוע בנקודה, ואז ננסח את משוואת המשיק.
נוסחה
חשב את הנגזרת f'(x)
f'(x) = 6x^2 - 6xf'(x) = 6x^(2) - 6x
משוואה
השתמש בנוסחה y - y0 = m(x - x0) עם y0=f(1), m=f'(1) ו-x0=1
השתמש בנוסחה y - y0 = m(x - x0) עם y0=f(1), m=f'(1) ו-x0=1
y + 1 = 0 * (x - 1)y - (-1) = 0 x (x -1)
פישוט
חשב f'(1) כדי לקבל את השיפוע בנקודה
חשב f'(1) כדי לקבל את השיפוע בנקודה
f'(1) = 6 * 1 - 6 * 1 = 0f'(1) = 6*1 - 6*1 = 0
תוצאה
מסיימים בתשובה
יש את הפונקציה f(x) = 2x^3 - 3x^2 ואת הנקודה x=1

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון פונקציה ונקודה

מה עושים

יש את הפונקציה f(x) = 2x^3 - 3x^2 ואת הנקודה x=1

למה

הנתונים מאפשרים לחשב נקודה ומשיק במיקום נתון

הפונקציה והנקודה הן נקודות התחלה לפתרון

רשום את הפונקציה והנקודה בבירור

בחירת שיטה

חישוב ערך הפונקציה בנקודה

מה עושים

הציב x=1 בפונקציה וחישב את f(1)

למה

כדי לקבל את נקודת המשיק על הגרף

חשב f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 = -1

נוסחה / הצבה

f(1) = 2 * 1 - 3 * 1 = -1f(1) = 2*1 - 3*1 = -1

בדוק את החישוב במחשבון

בחירת שיטה

גזירת הפונקציה

מה עושים

חשב את הנגזרת f'(x)

למה

הנגזרת נותנת לנו שיפוע משיק בנקודה

f'(x) = גזירת כל איבר: 6x^2 - 6x

נוסחה / הצבה

f'(x) = 6x^2 - 6xf'(x) = 6x^(2) - 6x

השתמש בכלל החזקה

פתרון

הצבת הנקודה בנגזרת

מה עושים

חשב f'(1) כדי לקבל את השיפוע בנקודה

למה

השיפוע משמש בקביעת משוואת המשיק

f'(1) = 6(1)^2 - 6(1) = 0

נוסחה / הצבה

f'(1) = 6 * 1 - 6 * 1 = 0f'(1) = 6*1 - 6*1 = 0

אל תשכח לסדר את הסוגריים כראוי

פתרון

הרכבת משוואת המשיק

מה עושים

השתמש בנוסחה y - y0 = m(x - x0) עם y0=f(1), m=f'(1) ו-x0=1

למה

זו המשוואה שמייצגת את המשיק לפונקציה בנקודה

y - (-1) = 0 * (x - 1) => y = -1

נוסחה / הצבה

y + 1 = 0 * (x - 1)y - (-1) = 0 x (x -1)

שיפוע אפס נותן ישר אופקי

פתרונות כלליים

גזירת פונקציה פשוטה: נגזור לפי כללי החזקה: הנגזרת של 2x^3 היא 2*3*x^2 = 6x^2. הנגזרת של -3x^2 היא -3*2*x = -6x. לכן הנגזרת היא f'(x) = 6x^2 - 6x.
חישוב משוואת המשיק בנקודה: חישוב ערך הפונקציה בנקודה: f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 = 2 - 3 = -1. חישוב נגזרת: f'(x) = 6x^2 - 6x. לכן f'(1) = 6(1)^2 - 6(1) = 6 - 6 = 0. משוואת המשיק היא y - (-1) = 0 * (x - 1), כלומר y = -1.

הפריט הקודם הפריט הבא

א4. ניגזרות רמה בסיסית - משוואת משיק טכניקה של גזירה ומקורות השיפוע

ניווט לפי נושאים

נגזרות רמה בסיסית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא משוואת המשיק לפונקציה בנקודה x=1

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

חשב את הנגזרת f'(x)

השתמש בנוסחה y - y0 = m(x - x0) עם y0=f(1), m=f'(1) ו-x0=1

חשב f'(1) כדי לקבל את השיפוע בנקודה

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתון פונקציה ונקודה

חישוב ערך הפונקציה בנקודה

גזירת הפונקציה

הצבת הנקודה בנגזרת

הרכבת משוואת המשיק

פתרונות כלליים