וידאו · אסימפטוטות אנכית ואופקית
א4. אסימפטוטות אנכית ואופקית דוגמא 3
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מדגים כיצד לזהות אסימפטוטות אנכיות ואופקיות של פונקציה ע"י חקירת התחום, תחום ההגדרה, בחינת גבולות באינסוף ובנקודות חשודות, ונימוק זהיר באמצעות חזקות במונה ובמכנה.
- לזהות את תחום ההגדרה של פונקציה רציונלית
- לחפש נקודות עם אסימפטוטות אנכיות לפי איפוס המכנה
- לחשב גבולות של הפונקציה כאשר x שואף לנקודות ולאינסוף
- לנתח האם קיימת אסימפטוטה אופקית על סמך התנהגות הפונקציה באינסוף
- להבין נימוקים בגישה של השוואת חזקות בין המונה למכנה
- בחינת תחום ההגדרה: קביעת איפה המכנה שווה לאפס ואיפואי אסימפטוטות אנכיות אפשריות.
- חישוב גבולות סביב x=3: חישוב גבולות ימני ושמאלי של הפונקציה כאשר x שואף ל-3.
- בחינת גבולות באינסוף: חישוב הגבולות כאשר x שואף ל-פלוס ולמינוס אינסוף לצורך איתור אסימפטוטות אופקיות.
- השוואת חזקות המונה והמכנה: נימוק אלגברי האם קיימת אסימפטוטה אופקית בהתאם לחזקות המובילות במונה ובמכנה.
תרגול קצר
זיהוי אסימפטוטות לפונקציה נתונה
רמת קושי: קל
מומלץ לחשב את תחום ההגדרה של הפונקציה y = (x^2 + 6) / (x - 3), לאחר מכן למצוא את האסימפטוטות האנכיות והאופקיות שלה.
רמז: התחום נקבע ע"י איפה שהמכנה שווה לאפס. בדוק את הגבולות כאשר x שואף ל-3 ומאינסוף.
פתרון מלא
תשובה סופית: אסימפטוטה אנכית ב-x=3; אין אסימפטוטה אופקית.
תחום ההגדרה: x שונה מ-3. אסימפטוטה אנכית ב-x=3 כי המכנה מתאפס שם. חישוב גבולות סביב 3 מראה שהגבול שואף לאינסוף במעבר מימין ו- -אינסוף במעבר משמאל. אין אסימפטוטה אופקית כי הגבולות באינסוף הם אינסוף חיובי ושלילי.
דרך הפתרון
זיהוי אסימפטוטות של פונקציה רציונלית
פונקציה y = (x² + 6) / (x - 3)
מפת פתרון
- מטרה
למצוא אסימפטוטות אנכיות / אסימפטוטות אופקיות
- נתון 1
נתון 1
y = (x² + 6) / (x - 3) - רעיון
הרעיון המרכזי
לזהות איפה המכנה מתאפס, לבדוק גבולות סביב נקודות אלה וגבולות באינסוף כדי לקבוע אסימפטוטות.
- נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
- משוואה
להחליף ערכים קרובים ל-3 בפונקציה ולבחון התנהגות
להחליף ערכים קרובים ל-3 בפונקציה ולבחון התנהגות
- פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
מסקנה על אסימפטוטות הפונקציה
- בדיקה
בדיקה קצרה
- האם זיהית נכון את תחום ההגדרה?
- האם חשבת גבולות ימני ושמאלי לנקודת המכנה?
- זהירות: שכחה לבדוק את התחום לפני חיפוש אסימפטוטות
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת פונקציה ותחום
זיהוי נתונים
הגדרת פונקציה ותחום
מה עושים
קובע שהתחום הוא כל x שאינו 3
למה
כי המכנה x-3 לא יכול להיות 0
תחום ההגדרה הוא x שונה מ-3. נקודה זו חשובה לאסימפטוטות אנכיות.
2בחירת שיטה
בדיקת הגבולות סביב x=3
בחירת שיטה
בדיקת הגבולות סביב x=3
מה עושים
חשב את הגבול מימין ומשמאל ל-x = 3
למה
כדי לבדוק אם יש אסימפטוטה אנכית בנקודה זו
לחשב lim x->3+ ו-lim x->3- של הפונקציה
גבולות בלתי סופיים מצביעים על אסימפטוטה אנכית
3בניית משוואה
חישוב גבולות סביב x=3
בניית משוואה
חישוב גבולות סביב x=3
מה עושים
להחליף ערכים קרובים ל-3 בפונקציה ולבחון התנהגות
למה
להבין לאיזו אינסוף שואף y
הגבול מימין שואף ל+∞, משמאל ל- -∞
בדיקות מספריות עוזרות להבהיר את ההתנהגות
4בחירת שיטה
בדיקת הגבולות באינסוף
בחירת שיטה
בדיקת הגבולות באינסוף
מה עושים
חשב את גבול הפונקציה כאשר x שואף ל +∞ ו- -∞
למה
לקבוע אם יש אסימפטוטה אופקית
הערכת הגבול באמצעות השוואת חזקות
אסימפטוטה אופקית קיימת רק אם הגבול סופי
5בניית משוואה
השוואת דרגות הפולינומים
בניית משוואה
השוואת דרגות הפולינומים
מה עושים
השווה את חזקות הפולינומים במונה ובמכנה
למה
כי הגבול באינסוף נקבע לפי השוואה זו
המונה בדרגה 2, המכנה בדרגה 1, לכן הפונקציה שואפת לאינסוף
חזקת מונה גבוהה ממכנה → הגבול שואף לאינסוף
6תשובה
סיכום התוצאה
תשובה
סיכום התוצאה
מה עושים
מסקנה על אסימפטוטות הפונקציה
למה
כדי להבין התנהגות הפונקציה
אסימפטוטה אנכית ב-x=3; אין אסימפטוטה אופקית
פתרונות כלליים
- זיהוי אסימפטוטות לפונקציה נתונה: תחום ההגדרה: x שונה מ-3. אסימפטוטה אנכית ב-x=3 כי המכנה מתאפס שם. חישוב גבולות סביב 3 מראה שהגבול שואף לאינסוף במעבר מימין ו- -אינסוף במעבר משמאל. אין אסימפטוטה אופקית כי הגבולות באינסוף הם אינסוף חיובי ושלילי.