וידאו · אסימפטוטות אנכית ואופקית
א2. אסימפטוטות אנכית ואופקית דוגמא 1
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בזיהוי וחישוב של אסימפטוטות אנכיות ואופקיות לפונקציה רציונלית, כולל ניתוח תחום ההגדרה, חישוב גבולות וקבלת נימוקים מילוליים מתאימים.
- הבנת תחום ההגדרה של פונקציה רציונלית
- זיהוי מיקומי אסימפטוטות אנכיות על פי המכנה
- חישוב גבולות לפונקציה כש-x שואף לערכים קריטיים ואינסוף
- נימוק מילולי מדויק לתוצאה הגובלית
- השוואה בין חזקות המונה והמכנה לקביעת אסימפטוטה אופקית
- תחום הגדרה ומשמעות גרפית: הגבלת תחום ההגדרה על ידי דרישת אי-שוויון למכנה וייצוג גרפי של תחום ההגדרה על ציר המספרים.
- חישוב גבולות סמוכים לערכים אסימפטוטיים: הצבה נומרית בקרבת נקודות אסימפטוטיות במחשבון וניתוח התנהגות הפונקציה.
- כתיבה מתמטית של גבולות ונימוק מילולי: חיבור בין חישובים במחשבון לבין תיעוד בכתב פורמלי וכתיבה שפתית לנימוק אסימפטוטות אופקיות.
תרגול קצר
תחום הגדרה של הפונקציה
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה y = (2x^2 - 1) / (x^2 - 4). חשב את תחום ההגדרה שלה.
רמז: עליך לבדוק עבור אילו ערכי x המכנה לא שווה לאפס.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל x שונה מ-2 ומ-(-2)
המכנה הוא x בריבוע מינוס 4. הפתרון לאי השוויון הוא x שונה מ-2 ו-x שונה מ-מינוס 2.
חישוב גבול סמוך לאסימפטוטה אנכית
רמת קושי: בינוני
ביצע חישוב גבול הפונקציה y = (2x^2 - 1) / (x^2 - 4) כש-x שואף ל-2 מימין.
רמז: בדוק את סימן המכנה והמונה כש-x שואף ל-2+
פתרון מלא
תשובה סופית: lim x->2+ f(x) = +∞
כאשר x שואף ל-2+ המכנה שואף לאפס חיובי, המונה שואף ל-7. התוצאה היא גבול בשאיפה לאינסוף חיובי.
נימוק מילולי לאסימפטוטה אופקית
רמת קושי: מאתגר
נמק במילים מדוע הפונקציה y = (2x^2 - 1) / (x^2 - 4) יש לה אסימפטוטה אופקית y=2.
רמז: בדוק את החזקות הגבוהות ביותר במונה ובמכנה ואת יחס המקדמים שלהן.
פתרון מלא
תשובה סופית: אסימפטוטה אופקית y=2 כי יחס המקדמים של החזקות הגבוהות ביותר הוא 2/1
חזקת המונה והמקדם הגבוהים ביותר הם x בריבוע ו-2, בהתאמה במונה; ו-x בריבוע ו-1 במכנה. כאשר x שואף לאינסוף, הפונקציה מתקרבת ליחס 2/1 שהינו y=2, ולכן זו האסימפטוטה האופקית.
קבעו את האסימפטוטות של הפונקציה
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה f(x) = (2x^2 - 1) / (x^2 - 4). כתבו את תחום ההגדרה, מצאו את האסימפטוטות האנכיות והאסימפטוטה האופקית, וציינו את הגבולות המתאימים.
רמז: 1. מצאו איפה המכנה מתאפס. 2. חשבו גבולות x שואף ל-2+ ול-2-. 3. חשבו גבולות x שואף לאינסוף + ו-אינסוף -. 4. הסבירו מילולית את האסימפטוטה האופקית.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל x שונה מ-2 ומ-(-2); אסימפטוטות אנכיות: x=2 ו-x=-2; אסימפטוטה אופקית: y=2.
תחום ההגדרה: x שונה מ-2 ומ-(-2). אסימפטוטות אנכיות: x=2, x=-2. גבול x->2+ = +∞, x->2- = -∞. גבול x->±∞ = 2. אסימפטוטה אופקית y=2 משום שיחס המקדמים בחזקות המקסימליות הוא 2/1.
דרך הפתרון
פתרון תרגיל – אסימפטוטות של הפונקציה
הפונקציה y = (2x^2 - 1) / (x^2 - 4)
מפת פתרון
- מטרה
למצוא תחום ההגדרה / אסימפטוטות אנכיות / אסימפטוטה אופקית
- נתון 1
נתון 1
הפונקציה y = (2x^2 - 1) / (x^2 - 4) - רעיון
הרעיון המרכזי
קבע איפה המכנה מתאפס, חשב גבולות סביב הערכים האלה ואינסוף, והשווה חזקות ומקדמים למסקנת
- נוסחה
חשב את הגבול כאשר x שואף ל-2+
כאשר x שואף ל-2 פלוס הפונקציה שואפת לאינסוף חיוביlim x->2+ f(x) = +∞_x 2^(+) f(x) = + - משוואה
חשב את הגבול כאשר x שואף ל-2-
חשב את הגבול כאשר x שואף ל-2-
כאשר x שואף ל-2 מינוס הפונקציה שואפת לאינסוף שליליlim x->2- f(x) = -∞_x 2^(-) f(x) = - - פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
תחום ההגדרה: x שונה מ-2 ומ-(-2), אסימפטוטות אנכיות: x=2 ו-x=-2, אסימפטוטה אופקית: y=2.
- בדיקה
בדיקה קצרה
- האם מצאת את תחום ההגדרה נכון?
- האם חישבת את הגבולות בצמוד לנקודות הבעייתיות?
- זהירות: שכחת לבדוק גבולות משני הצדדים בנקודות אסימפטוטיות
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון הפונקציה
זיהוי נתונים
נתון הפונקציה
מה עושים
y = (2x^2 - 1) / (x^2 - 4)
למה
זו בסיס העבודה שלנו
הפונקציה רציונלית עם מונה ומכנה מפורטים.
2בחירת שיטה
קבע תחום הגדרה
בחירת שיטה
קבע תחום הגדרה
מה עושים
מצא איפה המכנה שווה לאפס
למה
נקודות אלו אינן בתחום ההגדרה ויהוו אסימפטוטות אנכיות
x^2 - 4 = 0 => x=2 או x=-2
נוסחה / הצבה
x בריבוע מינוס 4 שונה מאפסx שונה מ-2x שונה מ-מינוס 2x^2 - 4 ≠ 0x ≠ 2אנחנו מחריגים את הערכים האלו מתחום ההגדרה
3בניית משוואה
חשב גבול מימין ל-2
בניית משוואה
חשב גבול מימין ל-2
מה עושים
חשב את הגבול כאשר x שואף ל-2+
למה
מראה את התנהגות הפונקציה ליד אסימפטוטה אנכית
לצורך חישוב הגבול נשווה כמה ש-x מתקרב ל-2 מהצד החיובי
נוסחה / הצבה
כאשר x שואף ל-2 פלוס הפונקציה שואפת לאינסוף חיוביlim x->2+ f(x) = +∞_x 2^(+) f(x) = +גבול צדדי משקף התנהגות שונה משני הכיוונים
4בניית משוואה
חשב גבול משמאל ל-2
בניית משוואה
חשב גבול משמאל ל-2
מה עושים
חשב את הגבול כאשר x שואף ל-2-
למה
מראה את התנהגות הפונקציה ליד אסימפטוטה אנכית מהצד השלילי
לצורך חישוב הגבול נשווה כמה ש-x מתקרב ל-2 מהצד השלילי
נוסחה / הצבה
כאשר x שואף ל-2 מינוס הפונקציה שואפת לאינסוף שליליlim x->2- f(x) = -∞_x 2^(-) f(x) = -5בניית משוואה
חשב גבול לאינסוף
בניית משוואה
חשב גבול לאינסוף
מה עושים
חשב את הגבול כאשר x שואף לאינסוף ו-מינוס אינסוף
למה
על מנת לקבוע אסימפטוטה אופקית
השווה חזקות ומקדמים של המונה והמכנה
נוסחה / הצבה
כאשר x שואף לאינסוף חיובי או שלילי, f(x) שואף ל-2lim x->±∞ f(x) = 2_x f(x) = 2האסימפטוטה האופקית היא y=2
6תשובה
סיכום תוצאות
תשובה
סיכום תוצאות
מה עושים
תחום ההגדרה: x שונה מ-2 ומ-(-2), אסימפטוטות אנכיות: x=2 ו-x=-2, אסימפטוטה אופקית: y=2.
למה
כלל המסקנות מתהליך החישוב
הצגה מסכמת של תחום ההגדרה והאסימפטוטות
פתרונות כלליים
- תחום הגדרה של הפונקציה: המכנה הוא x בריבוע מינוס 4. הפתרון לאי השוויון הוא x שונה מ-2 ו-x שונה מ-מינוס 2.
- חישוב גבול סמוך לאסימפטוטה אנכית: כאשר x שואף ל-2+ המכנה שואף לאפס חיובי, המונה שואף ל-7. התוצאה היא גבול בשאיפה לאינסוף חיובי.
- נימוק מילולי לאסימפטוטה אופקית: חזקת המונה והמקדם הגבוהים ביותר הם x בריבוע ו-2, בהתאמה במונה; ו-x בריבוע ו-1 במכנה. כאשר x שואף לאינסוף, הפונקציה מתקרבת ליחס 2/1 שהינו y=2, ולכן זו האסימפטוטה האופקית.
- קבעו את האסימפטוטות של הפונקציה: תחום ההגדרה: x שונה מ-2 ומ-(-2). אסימפטוטות אנכיות: x=2, x=-2. גבול x->2+ = +∞, x->2- = -∞. גבול x->±∞ = 2. אסימפטוטה אופקית y=2 משום שיחס המקדמים בחזקות המקסימליות הוא 2/1.