וידאו · אסימפטוטות אנכית ואופקית
א3. אסימפטוטות אנכית ואופקית דוגמא 2
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור המדגים חישוב מציאת אסימפטוטות אנכית ואופקית בפונקציה רציונלית, כולל התייחסות למושג נקודת חור ודילוג דרך צמצום פונקציות.
- לזהות תחום הגדרת פונקציה רציונלית
- לחשב אסימפטוטות אנכיות על ידי זיהוי מקומות בהם המכנה שווה לאפס
- לחשב אסימפטוטות אופקיות בהתאם לחזקות של המונה והמכנה
- להבין ולהבחין במקרים של נקודת חור
- לבצע צמצום פונקציה רציונלית במקרים של נקודת חור
- להסביר משמעות הגדרות אסימפטוטות מבחינה גרפית
- תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכית: הגדרת התחום של הפונקציה ושינוי סימנים בקטעי תחום, איתור האי־המשכיות ואסימפטוטות אנכיות בנקודות שבהן המכנה מתאפס.
- התנהגות גבולית ואסימפטוטות אופקית: חישוב גבולות של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף חיובי ולמינוס אינסוף, והבנת התנהגות הפונקציה בקצה תחום ההגדרה.
- נקודת חור וצמצום פונקציה: זיהוי מצבים מיוחדים בהם פונקציה רציונלית מתנהגת באופן שונה מגבולות האסימפטוטות ומדובר בנקודת חור שנובעת מצמצום בין המונה למכנה.
תרגול קצר
מציאת אסימפטוטות אנכית ואופקית לפונקציה נתונה
רמת קושי: קל
לחשב את האסימפטוטות האנכיות והאופקיות של הפונקציה y = x / (x^2 - 8x + 12)
רמז: ראשית מצא את תחום ההגדרה, לאחר מכן בדוק איפה המכנה שווה לאפס וחשב גבולות חד צדדיים סביב נקודות אלו. לאחר מכן חשב את הגבולות באינסוף.
פתרון מלא
תשובה סופית: אסימפטוטות אנכיות: x=2, x=6 אסימפטוטה אופקית: y=0
תחום ההגדרה הוא x שונה מ-2 ו-6 (x^2 - 8x + 12 = 0 מפורק ל-(x-2)(x-6)). נקודות אסימפטוטה אנכית הן x=2 ו-x=6. חישוב הגבולות מראה שהתנהגות הפונקציה היא לפלוס או מינוס אינסוף באסימפטוטות אלו. הגבול לאינסוף של הפונקציה הוא 0, לכן אסימפטוטה אופקית היא y=0.
דרך הפתרון
מפת פתרון למציאת אסימפטוטות בפונקציה
דוגמה: y = x / (x^2 - 8x + 12)
מפת פתרון
- מטרה
למצוא את מיקום האסימפטוטות האנכיות / את מיקום האסימפטוטה האופקית
- נתון 1
נתון 1
פונקציה y = x / (x^2 - 8x + 12) - רעיון
הרעיון המרכזי
למצוא איפה המכנה שווה לאפס, לבדוק גבולות חד צדדיים שם, ולחשב גבולות באינסוף כדי לזהות אסימפטוטות
- נוסחה
מצא את הערכים של x כך שהמכנה שונה מאפס.
x לא שווה ל-2x לא שווה ל-6x-2 ≠ 0x-6 ≠ 0x != 2, x != 6 - משוואה
חשב את הגבול של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף ומינוס אינסוף.
חשב את הגבול של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף ומינוס אינסוף.
כאשר x שואף לאינסוף חיוביהפונקציה שואפת ל-0כאשר x שואף למינוס אינסוףlim_x→∞ (x)/(x^2 - 8x + 12) = 0lim_x→-∞ (x)/(x^2 - 8x + 12) = 0 - פישוט
סכם את מיקומי האסימפטוטות שנמצאו.
סכם את מיקומי האסימפטוטות שנמצאו.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
מציבים את מה שמצאנו ומנסחים תשובה סופית.
- בדיקה
בדיקה קצרה
- האם מצאת את תחום ההגדרה?
- האם חישבת את הגבולות החד צדדיים?
- זהירות: לא לבדוק את תחום ההגדרה לפני חישוב הגבולות
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת תחום הפונקציה
זיהוי נתונים
הגדרת תחום הפונקציה
מה עושים
מצא את הערכים של x כך שהמכנה שונה מאפס.
למה
תחום ההגדרה הוא המקום בו הפונקציה מוגדרת ולכן משמש לזיהוי נקודות למעקב.
פירוק המכנה למכפלה (x-2)(x-6), לכן x שונה מ-2 ו-6.
נוסחה / הצבה
x לא שווה ל-2x לא שווה ל-6x-2 ≠ 0x-6 ≠ 0x != 2, x != 6תחום ההגדרה מונע חלוקה באפס.
2בחירת שיטה
בדיקת אסימפטוטות אנכיות
בחירת שיטה
בדיקת אסימפטוטות אנכיות
מה עושים
חשב את הגבולות החד צדדיים של הפונקציה כאשר x שואף ל-2 ו-6.
למה
גבולות חד צדדיים שמגיעים לאינסוף מעידים על אסימפטוטות אנכיות.
בחן את lim x→2+ , lim x→2- , lim x→6+ , lim x→6-.
נוסחה / הצבה
כאשר x שואף ל-2 מהימין ומשמאל, y שואף לאינסוף או מינוס אינסוףבעת x שואף ל-6 מהימין ומשמאל, y שואף לאינסוף או מינוס אינסוףlim_x→2^+ y = ±∞גבולות אלו מראים שהפונקציה גדלה מאוד סביב הנקודות.
3בניית משוואה
בדיקת אסימפטוטה אופקית
בניית משוואה
בדיקת אסימפטוטה אופקית
מה עושים
חשב את הגבול של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף ומינוס אינסוף.
למה
גבול סופי באינסוף מצביע על אסימפטוטה אופקית.
השווה בין דרגות המונה והמכנה ובחן הגבולות.
נוסחה / הצבה
כאשר x שואף לאינסוף חיוביהפונקציה שואפת ל-0כאשר x שואף למינוס אינסוףlim_x→∞ (x)/(x^2 - 8x + 12) = 0lim_x→-∞ (x)/(x^2 - 8x + 12) = 0החזקות במכנה גבוהות מהמונה ולכן הגבול הוא אפס.
4פתרון
מסקנות לגבי אסימפטוטות
פתרון
מסקנות לגבי אסימפטוטות
מה עושים
סכם את מיקומי האסימפטוטות שנמצאו.
למה
זיהוי האסימפטוטות עוזר בהבנת התנהגות גרף הפונקציה.
אסימפטוטות אנכיות ב-x=2 ו-x=6, אסימפטוטה אופקית ב-y=0.
נקודות אלו הן קריטיות בעת שרטוט הפונקציה.
פתרונות כלליים
- מציאת אסימפטוטות אנכית ואופקית לפונקציה נתונה: תחום ההגדרה הוא x שונה מ-2 ו-6 (x^2 - 8x + 12 = 0 מפורק ל-(x-2)(x-6)). נקודות אסימפטוטה אנכית הן x=2 ו-x=6. חישוב הגבולות מראה שהתנהגות הפונקציה היא לפלוס או מינוס אינסוף באסימפטוטות אלו. הגבול לאינסוף של הפונקציה הוא 0, לכן אסימפטוטה אופקית היא y=0.