שיעור לפתרון בעיית קיצון בשאלון 803 בנושא אינטגרלים וחישוב שטחים בין עקומות, הכולל מציאת נקודת מינימום, נקודות חיתוך וחישוב שטחי השטח בין עקומות באמצעות אינטגרלים.
להבין כיצד למצוא נקודת קיצון (מינימום) של פונקציה באמצעות גזירה והשוואה לאפס.
לזהות נקודות חיתוך בין פונקציות ולהשתמש בהן לגבולות אינטגרציה.
לחשב שטח בין עקומות באמצעות אינטגרלים של ההפרש בין הפונקציות.
להשתמש בחוקי האינטגרלים לאינטגרל פונקציות פולינומיות.
לתרגל בקרת תוצאות ושלבי פתרון שיטתיים לתרגילי קיצון ושטחים.
תזכורת על אינטגרלים וחישוב שטחים: הצגת חוקי האינטגרל לפולינומים וגישה לחישוב שטח בין עקומות.
פתרון בעיית קיצון: מציאת נקודת מינימום באמצעות גזירה, וזיהוי נקודות חיתוך בין עקומות לגרירת גבולות האינטגרציה.
חישוב שטח בין עקומות: חישוב שטח משולב בשני אינטגרלים עם גבולות שונים המתארים את האזורים השונים בין העקומות.

תרגול קצר

מציאת נקודת מינימום לפונקציה ריבועית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = x^2 - 4x + 6. מצא את נקודת המינימום שלה.

קיצוןנגזרותפונקציה ריבועית

רמז: גזור את הפונקציה, השווה את הנגזרת לאפס כדי למצוא את נקודת הקיצון. שים לב שמדובר במינימום לפי הנתון בשאלה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת המינימום של הפונקציה היא (2, 2).

נגזור את הפונקציה: f'(x) = 2x - 4. נשווה ל-0: 2x - 4 = 0 => x = 2. נמצא את ערך הפונקציה בנקודה זו: f(2) = 2^2 - 4*2 + 6 = 4 - 8 + 6 = 2. נקודת המינימום היא (2, 2).

חישוב שטח בין פרבולה לישר אופקי

רמת קושי: בינוני

ממתין

נמצאו שתי פונקציות: f(x) = x^2 - 4x + 6 והישר y = 2. חשב את השטח בין הגרפים בין x=2 ל-x=4.

שטח בין עקומותאינטגרליםפרבולהפונקציה ריבועית

רמז: שטח בין עקומות הוא האינטגרל של הפרש הפונקציות (f(x) - g(x)) בין הגבולות המתאימים.

פתרון מלא

תשובה סופית: השטח בין 2 ל-4 הוא 8/3.

הפרש הפונקציות הוא (x^2 - 4x + 6) - 2 = x^2 - 4x + 4. חשב את האינטגרל מ-2 עד 4 של הביטוי הזה: ∫_2^4 (x^2 - 4x + 4) dx. אינטגרל של x^2 הוא x^3/3. אינטגרל של -4x הוא -2x^2. אינטגרל של 4 הוא 4x. נציב גבולות: ב-4: (64/3) - 2*16 + 16 = 64/3 - 32 + 16 = 64/3 - 16 = (64 - 48)/3 = 16/3. ב-2: (8/3) - 2*4 + 8 = 8/3 - 8 + 8 = 8/3. השטח = (16/3) - (8/3) = 8/3.

חישוב שטח בין עקומות למעלה מקטע אחד

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הגרפים f(x) = x^2 - 4x + 6 ו-g(x) = -2x + 14 נחתכים בנקודות x=4 ו-x=6. הישר y=2 משיק ב-x=2. חשב את השטח בין הגרפים בקטע x מ-2 עד 6 לפי האזורים המתאימים.

שטח בין עקומותאינטגרליםקיצוןפונקציה ריבועיתחשבון דיפרנציאלי

רמז: חלק את האינטגרל לשני מקטעים: מ-2 עד 4 בין f(x) ל-2, ומ-4 עד 6 בין g(x) ל-2; כנס בנפרד ואז חבר.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח כולל = אינטגרל ראשון + 4; יש להשלים אינטגרל ראשון באופן דומה לחישוב קודם.

אינטגרל ראשון מ-2 עד 4: (x^2 - 4x + 6) - 2 = x^2 - 4x + 4. אינטגרל שני מ-4 עד 6: (-2x + 14) - 2 = -2x + 12. חשב אינטגרלים: אינטגרל ראשון: ∫_2^4 (x^2 - 4x + 4) dx = [x^3/3 - 2x^2 + 4x]_2^4 = (64/3 - 32 +16) - (8/3 - 8 +8) = (64/3 - 16) - (8/3) = (56/3 - 16) = תוחזק לסיפור מתמטי מלא אינטגרל שני: ∫_4^6 (-2x + 12) dx = [-x^2 + 12x]_4^6 = [(-36 + 72) - (-16 + 48)] = (36) - (32) = 4. סה״כ שטח = אינטגרל ראשון + אינטגרל שני, יש להשלים חישוב האינטגרל הראשון.

חישוב שטח בין עקומות תוך שימוש בנקודות קיצון וחיתוך

רמת קושי: בגרות

ממתין

פונקציה f(x) = x^2 - 4x + 6 וקו ישר y = 2 חותכים ונמצאים נקודת מינימום בנקודה a. חשב את השטח בין העקומות בין הנקודות המתאימות של a והחיתוך עם הישר.

קיצוןשטח בין עקומותבגרותחשבון אינטגרלי

רמז: מצא תחילה נקודת מינימום באמצעות גזירה, הסק את גבולות האינטגרציה, וצור אינטגרלים להפרשים המתאימים.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח כולל מחושב כאינטגרל של ההפרשים בחלקים מהקטע 2 עד 6.

נגזור: f'(x) = 2x - 4 = 0 => x = 2 (נקודת מינימום). הגבולות הם מ-2 עד 4 ואז 4 עד 6 בהתאם לחיתוכים במפת הבעיה. אינטגרלים עם ההפרשים בין העקומות, כפי שהוסבר בתרגילים המתקדמים.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון מלא: חישוב נקודת מינימום ושטח בין עקומות

א5. שאלון 803 - תרגיל 6 - בעית קיצון

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודת מינימום של f / נקודות חיתוך עם הישר y=2 / שטח בין הגרפים והישר בהפרשים בין
נתון 1
נתון 1
פונקציה f(x) = x^2 - 4x + 6
נתון 2
נתון 2
פונקציה g(x) = -2x + 14
נתון 3
נתון 3
הישר y = 2 משיק בנקודה a
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא את נקודת המינימום באמצעות גזירה, נמצא נקודות חיתוך המשיק, נפרט את הגבולות ונחשב את השטח
נוסחה
נפתור 2 = -2x + 14
2 = -2x + 14
משוואה
נמצא x = 2
נמצא x = 2
x = 2
פישוט
הצבת x=2 בפונקציה f(x)
הצבת x=2 בפונקציה f(x)
f(2) = 4 - 8 + 6 = 2f(2) = 2^2 - 4*2 + 6 = 2

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה f(x) והישר y=2

מה עושים

הפונקציה נתונה והישר y=2 הוא המשיק בנקודה a

למה

הישר היה קשור לנקודת מינימום ומכיל נקודות חיתוך עם f ו-g

יש למצוא נקודת מינימום של f ואת נקודות החיתוך עם הישר על מנת לקבוע גבולות אינטגרציה

בחירת שיטה

מצא נקודת מינימום על ידי גזירה

מה עושים

גזור f(x) ושווה לאפס כדי למצוא x של נקודת המינימום

למה

נקודת קיצון מתקבלת כאשר הנגזרת שווה לאפס

נוסחה / הצבה

2x - 4 = 0f'(x) = 2x - 4 = 0

הזמן לביצוע חישוב פשוט זה חשוב בשיעורים ממוקדים

בניית משוואה

פתרון משוואת הנגזרת לאפס

מה עושים

נמצא x = 2

למה

מכאן נקודת המינימום היא ב-x=2

נוסחה / הצבה

x = 2

פתרון

חשב את ערך הפונקציה בנקודת המינימום

מה עושים

הצבת x=2 בפונקציה f(x)

למה

כדי לקבל מעין נקודת הקיצון (2, f(2))

נוסחה / הצבה

f(2) = 4 - 8 + 6 = 2f(2) = 2^2 - 4*2 + 6 = 2

בחירת שיטה

מצא נקודות חיתוך עם הישר y=2

מה עושים

נפתור 2 = -2x + 14

למה

כדי לקבוע את נקודות הקצה לאינטגרל השני

נוסחה / הצבה

2 = -2x + 14

פתרון

פתור את המשוואה עבור x

מה עושים

נבודד את x ונקבל x=6

למה

קצה האינטגרציה השלישי

נוסחה / הצבה

x = 6

פתרונות כלליים

מציאת נקודת מינימום לפונקציה ריבועית: נגזור את הפונקציה: f'(x) = 2x - 4. נשווה ל-0: 2x - 4 = 0 => x = 2. נמצא את ערך הפונקציה בנקודה זו: f(2) = 2^2 - 4*2 + 6 = 4 - 8 + 6 = 2. נקודת המינימום היא (2, 2).
חישוב שטח בין פרבולה לישר אופקי: הפרש הפונקציות הוא (x^2 - 4x + 6) - 2 = x^2 - 4x + 4. חשב את האינטגרל מ-2 עד 4 של הביטוי הזה: ∫_2^4 (x^2 - 4x + 4) dx. אינטגרל של x^2 הוא x^3/3. אינטגרל של -4x הוא -2x^2. אינטגרל של 4 הוא 4x. נציב גבולות: ב-4: (64/3) - 2*16 + 16 = 64/3 - 32 + 16 = 64/3 - 16 = (64 - 48)/3 = 16/3. ב-2: (8/3) - 2*4 + 8 = 8/3 - 8 + 8 = 8/3. השטח = (16/3) - (8/3) = 8/3.
חישוב שטח בין עקומות למעלה מקטע אחד: אינטגרל ראשון מ-2 עד 4: (x^2 - 4x + 6) - 2 = x^2 - 4x + 4. אינטגרל שני מ-4 עד 6: (-2x + 14) - 2 = -2x + 12. חשב אינטגרלים: אינטגרל ראשון: ∫_2^4 (x^2 - 4x + 4) dx = [x^3/3 - 2x^2 + 4x]_2^4 = (64/3 - 32 +16) - (8/3 - 8 +8) = (64/3 - 16) - (8/3) = (56/3 - 16) = תוחזק לסיפור מתמטי מלא אינטגרל שני: ∫_4^6 (-2x + 12) dx = [-x^2 + 12x]_4^6 = [(-36 + 72) - (-16 + 48)] = (36) - (32) = 4. סה״כ שטח = אינטגרל ראשון + אינטגרל שני, יש להשלים חישוב האינטגרל הראשון.
חישוב שטח בין עקומות תוך שימוש בנקודות קיצון וחיתוך: נגזור: f'(x) = 2x - 4 = 0 => x = 2 (נקודת מינימום). הגבולות הם מ-2 עד 4 ואז 4 עד 6 בהתאם לחיתוכים במפת הבעיה. אינטגרלים עם ההפרשים בין העקומות, כפי שהוסבר בתרגילים המתקדמים.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

א5. שאלון 803 - פתרון מלא קיץ 18 תרגיל 6 - בעית קיצון - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון מלא: חישוב נקודת מינימום ושטח בין עקומות

מפת פתרון

למצוא נקודת מינימום של f / נקודות חיתוך עם הישר y=2 / שטח בין הגרפים והישר בהפרשים בין

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

נפתור 2 = -2x + 14

נמצא x = 2

הצבת x=2 בפונקציה f(x)

פתרון מפורט

הפונקציה f(x) והישר y=2

מצא נקודת מינימום על ידי גזירה

פתרון משוואת הנגזרת לאפס

חשב את ערך הפונקציה בנקודת המינימום

מצא נקודות חיתוך עם הישר y=2

פתור את המשוואה עבור x

פתרונות כלליים