וידאו · משוואות לוגריתמיות
א5. חוקי לוגים ומשוואות לוגריתמיות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור בנושא פתרון משוואות לוגריתמיות עם דגש על תרגילים מיוחדים שבהם הלוגריתם נמצא במעריך וכוללים פעולות כפל של לוגריתמים. מוצגים טקטיקות לפתירתם, כולל סימון משתנים והצבת ערכים.
- להכיר את חוקי הלוגריתם ויישומם בפתרון משוואות לוגריתמיות
- לזהות מתי יש לוג במעריך וליישם סימון מתמטי מתאים
- להבין כיצד להתמודד עם פעולות כפל בין לוגריתמים ולמצוא דרכים לפתירתן
- להשתמש בציוני ביניים (כמו t) לצורך פישוט המשוואות
- להציג ולבדוק מספר פתרונות אפשריים תוך שימוש בחישוב ובדיקת תקינות
- הכרת תרגילים מיוחדים במשוואות לוגריתמיות: מציגים תרגילים שבהם הלוגריתם מופיע כחזקה, מה שמצריך סימון ונוסחאות מותאמות לטיפול בהם.
- טיפול בכפל בין לוגריתמים: הסבר על כך שאין חוק ישיר לטיפול בכפל בין לוגריתמים ולכן יש להשתמש בשיטות עקיפות, כגון שימוש בסימון משתנה t ושימוש בחוקי לוגריתמים בכיוון הפוך.
תרגול קצר
פתרון משוואה לוגריתמית פשוטה עם סמוי במעריך
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה: לוג על בסיס 3 של x בחזקת לוג על בסיס 3 של x שווה ל-81.
רמז: נסה להציב t = לוג על בסיס 3 של x ולאחר מכן השווה לחזקה.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 9 או x = 1/9
נסמן t = log3(x), אז x = 3^t. המשוואה היא (log3(x))^{log3(x)} = 81, כלומר t^t = 81. 81 = 3^4 ולכן t^t = 3^4. כדי לפתור, נעבור לחזקה ונמצא t.
משוואה עם כפל של לוגריתמים
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה: (לוג על בסיס 3 של x) כפול (לוג על בסיס 3 של 9x) = 10.
רמז: סמן t = לוג על בסיס 3 של x והשתמש בחוקי לוגריתם להפוך את פעולת הכפל לסכום.
פתרון מלא
תשובה סופית: x ≈ 12.7 או x ≈ 0.069
נסמן t = log3(x), אז log3(9x) = log3(9) + log3(x) = 2 + t. המשוואה היא t*(2+t) = 10. כלומר t^2 + 2t = 10 ⇒ t^2 + 2t - 10 = 0. פתרון המשוואה הריבועית נותן את t. מציבים חזרה ופותרים ל-x.
דרך הפתרון
פתרון משוואה עם כפל של לוגריתמים
משוואה: לוג בסיס 3 של x כפול לוג בסיס 3 של 9x שווה 10
מפת פתרון
- מטרה
למצוא את ערך x שמקיים את המשוואה
- נתון 1
נתון 1
לוג על בסיס 3 של x כפול לוג על בסיס 3 של 9x = 10 - רעיון
הרעיון המרכזי
סמן את לוג בסיס 3 של x כ-t, השתמש בחוק לוגריתמים להפיכת המכפלה לסכום, ופעל לפתירת משוואה ריבועית
- נוסחה
נמצא את השורשים t1 ו-t2 של המשוואה
t^2 + 2t - 10 = 0t^(2) + 2t - 10 = 0 - משוואה
כתיבת המשוואה לוג3(x) * לוג3(9x) = 10
כתיבת המשוואה לוג3(x) * לוג3(9x) = 10
- פישוט
נפתח t^2 + 2t = 10
נפתח t^2 + 2t = 10
- תוצאה
מסיימים בתשובה
מציבים x = 3^t לכל פתרון t
x = 3^tx = 3^(t) - בדיקה
בדיקה קצרה
- הבנת סוג המשוואה ומבנה הלוגריתמים
- סימון משתנה מתאים לפישוט המשוואה
- זהירות: אי סימון t והניסיון לפתור ישר על הלוגריתמים
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
המשוואה הראשונית
זיהוי נתונים
המשוואה הראשונית
מה עושים
כתיבת המשוואה לוג3(x) * לוג3(9x) = 10
למה
להבין מה מבוקש לפתרון
המכפלה בין שני הלוגריתמים שווה לעשר
2בחירת שיטה
הגדרת משתנה אחר
בחירת שיטה
הגדרת משתנה אחר
מה עושים
נסמן t = לוג3(x)
למה
להפוך משוואה בלוגריתמים למשוואה אלגברית פשוטה יותר
משתמשים בסימון להחלפת הלוגריתם בביטוי פשוט
3בניית משוואה
הכנסת המשתנה למשוואה
בניית משוואה
הכנסת המשתנה למשוואה
מה עושים
החלפת לוג3(9x) ב- log3(9) + log3(x) = 2 + t
למה
באמצעות חוקי לוגריתם מפצלים את הלוגריתם השני
המשוואה הופכת ל-t * (2 + t) = 10
יש לשים סוגריים נכונים סביב 2 + t
4פתרון
פיתוח המשוואה
פתרון
פיתוח המשוואה
מה עושים
נפתח t^2 + 2t = 10
למה
לאפשר פתרון למשוואה ריבועית
מעבירים הכל לאגף אחד לקבלת t^2 + 2t - 10 = 0
5פתרון
פתירת משוואה ריבועית ב-t
פתרון
פתירת משוואה ריבועית ב-t
מה עושים
נמצא את השורשים t1 ו-t2 של המשוואה
למה
להשיג ערכים אפשריים עבור t
נשתמש בנוסחת השורשים או מחשבון
נוסחה / הצבה
t^2 + 2t - 10 = 0t^(2) + 2t - 10 = 0השתמש במחשבון לפתירת המשוואה
6פתרון
החזרת t ל-x
פתרון
החזרת t ל-x
מה עושים
מציבים x = 3^t לכל פתרון t
למה
יש למצוא את פתרונות x מהמשתנה התווך t
לחישוב התוצאה הסופית של x
נוסחה / הצבה
x = 3^tx = 3^(t)השתמש במחשבון לחישוב חזקות
פתרונות כלליים
- פתרון משוואה לוגריתמית פשוטה עם סמוי במעריך: נסמן t = log3(x), אז x = 3^t. המשוואה היא (log3(x))^{log3(x)} = 81, כלומר t^t = 81. 81 = 3^4 ולכן t^t = 3^4. כדי לפתור, נעבור לחזקה ונמצא t.
- משוואה עם כפל של לוגריתמים: נסמן t = log3(x), אז log3(9x) = log3(9) + log3(x) = 2 + t. המשוואה היא t*(2+t) = 10. כלומר t^2 + 2t = 10 ⇒ t^2 + 2t - 10 = 0. פתרון המשוואה הריבועית נותן את t. מציבים חזרה ופותרים ל-x.