וידאו · משוואות לוגריתמיות
א4. חוקי לוגים ומשוואות לוגריתמיות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור זה עוסק בהבנת חוקי הלוגריתמים, פתרון משוואות לוגריתמיות, זיהוי פתרונות לא תקינים, והקונספט של מעבר בסיסים בלוגריתמים, כולל יישום מעשי וחישוב עם מחשבון מדעי.
- להבין ולנסח את חוק החזקה בלוגריתם
- לפתור משוואות לוגריתמיות ולהבחין בפתרונות תקינים ולא תקינים
- ליישם את חוק מעבר הבסיסים ללוגריתמים לפתרון משוואות עם בסיסים שונים
- לפרש תוצאות חישוביות ולזהות מצבים ללא פתרון בלוגריתם
- להכיר כתיבה במערכת הנומרית האינג'ינרית ומשמעותה
- ללמוד להשתמש בהצבת משתנה עזר להקל על פתרון משוואות לוגריתמיות
- חוק החזקה בלוגריתם: בהקדמה מוצג חוק מרכזי של הלוגריתמים - שהפעלה של חזקה על בסיס הלוגריתם מחזירה אותו עצמו.
- פתרון משוואה לוגריתמית ובדיקת תקינות פתרונות: הדגמה של פתרון משוואה לוגריתמית והבדיקה האם פתרונות שנתקבלו תקינים מבחינה מתמטית.
- חוק מעבר בסיסים בלוגריתם: הצגת חוק שבאמצעותו ניתן להמיר לוגריתמים עם בסיסים שונים לבסיס אחיד, להקל על פתרון המשוואות.
תרגול קצר
פתור משוואה לוגריתמית בסיסית
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה: 3 בחזקה לוג בבסיס 3 של 317 = ?
רמז: השתמשו בחוק החזקה של לוגריתם: a בחזקה log_a(x) = x
פתרון מלא
תשובה סופית: 317
לפי חוק החזקה בלוגריתם, 3 בחזקה log_3(317) = 317
בדיקת פתרונות משוואה לוגריתמית
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה: e בחזקה (log_e(x^2 - 5x + 6)) = 0 והכן הסבר האם קיימים פתרונות תקינים.
רמז: בדוק את תחום ההגדרה וודא שהביטוי המעריכי חיובי.
פתרון מלא
תשובה סופית: אין פתרונות תקפים
לפי החוק e בחזקה log_e(...) שווה לארגומנט: x^2 - 5x + 6 = 0. הפתרונות הם x=2 ו-x=3. יש לבדוק אם זה בתחום ההגדרה של הלוגריתם. הביטוי בתוך הלוגריתם צריך להיות חיובי. ל-x=2, הערך הוא 2^2 - 5*2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0, לא חיובי. ל-x=3, הערך הוא 9 - 15 + 6 = 0, גם לא חיובי. לכן, הפתרונות אינם בתחום ההגדרה והמשוואה אין לה פתרונות תקפים.
פתרון משוואה לוגריתמית עם מעבר בסיסים
רמת קושי: מאתגר
פתור את המשוואה: log_e(x) + log_e(y) / log_e(2) = 10
רמז: השתמש בחוק מעבר בסיסים להצבת t, ותפתור את המשוואה לפשטות.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = e^(10 - 2.4 * log_e(y))
לפי חוק המעבר: log_2(x) = log_e(x) / log_e(2). נתון: log_e(x) + (log_e(y) / log_e(2)) = 10. הציב t = log_e(x). חשב את המקדם 1 / log_e(2) ≈ 2.4. לכן: t + 2.4 * log_e(y) =10. בהינתן ערכי y, פתרון t = (10 - 2.4*log_e(y)). מחלצים x=e^t.
משוואה לוגריתמית עם הצבה ובקרה
רמת קושי: בגרות
פתור והסבר את המשוואה: e בחזקה (log_e(x)) - 10 = 0
רמז: השתמש בהבנת חוק החזקה של לוגריתם ואל תשכח לבדוק תחום הגדרה.
פתרון מלא
תשובה סופית: 10
לפי החוק: e^{log_e(x)} = x. אז המשוואה היא: x - 10 = 0. מכאן: x = 10. בדיקת תחום: x צריך להיות חיובי, 10 > 0 ולכן תקין.
דרך הפתרון
פתרון משוואה לוגריתמית עם בדיקת תחום הגדרה
פתרון המשוואה e בחזקה log_e(x^2 - 5x + 6) = 0
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערכי x שמקיימים את המשוואה / בדיקת תחום ההגדרה של הלוגריתם
- נתון 1
נתון 1
e בחזקה log_e(בטוי) = ביטוי - נתון 2
נתון 2
המשוואה e בחזקה log_e(x^2 - 5x + 6) = 0 - רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בחוק החזקה שיבוא לחילוץ הביטוי, ואז לבדוק את תחום ההגדרה כדי לקבוע תקינות פתרונות.
- נוסחה
מעבירים את e בחזקה עם הלוגריתם לערך המקורי
e בחזקה log_e(ביטוי) = ביטויe בחזקה log_e(x^2 - 5x + 6) = x^2 - 5x + 6e^(_e(x^2 - 5x + 6)) = x^2 - 5x + 6 - משוואה
משתמשים בקביעה x^2 - 5x + 6 = 0
משתמשים בקביעה x^2 - 5x + 6 = 0
x בריבוע - 5x + 6 = 0x^2 - 5x + 6 = 0 - פישוט
פקטוריזציה: (x-2)(x-3)=0
פקטוריזציה: (x-2)(x-3)=0
(x - 2) כפול (x - 3) = 0(x-2)(x-3) = 0 - תוצאה
מסיימים בתשובה
מסכמים שאין פתרונות בתחום ההגדרה
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
גוזרים את הערכים בתוך הלוגריתם
זיהוי נתונים
גוזרים את הערכים בתוך הלוגריתם
מה עושים
מעבירים את e בחזקה עם הלוגריתם לערך המקורי
למה
הזוגיות בין חזקה ללוגריתם מאפשרת חילוץ
e בחזקה log_e(x^2 - 5x + 6) שווה ל-x^2 - 5x + 6
נוסחה / הצבה
e בחזקה log_e(ביטוי) = ביטויe בחזקה log_e(x^2 - 5x + 6) = x^2 - 5x + 6e^(_e(x^2 - 5x + 6)) = x^2 - 5x + 6זכור שהחזקה והלוגריתם על אותו בסיס מבטלים זה את זה
2בניית משוואה
מציבים משוואה פשוטה
בניית משוואה
מציבים משוואה פשוטה
מה עושים
משתמשים בקביעה x^2 - 5x + 6 = 0
למה
משוואה קווית לפתרון ערכי x
x^2 - 5x + 6 =0
נוסחה / הצבה
x בריבוע - 5x + 6 = 0x^2 - 5x + 6 = 0אל תשכח לזהות שמדובר במשוואה ריבועית
3פתרון
מוצאים שורשי הפולינום
פתרון
מוצאים שורשי הפולינום
מה עושים
פקטוריזציה: (x-2)(x-3)=0
למה
הצבת תיקונים בפולינום
לפי פירוק לשורשים x=2 או x=3
נוסחה / הצבה
(x - 2) כפול (x - 3) = 0(x-2)(x-3) = 0(x-2)(x-3) =0בדוק שני הפתרונות שקיבלת
4פתרון
בודקים תחום לוגריתם חיובי
פתרון
בודקים תחום לוגריתם חיובי
מה עושים
מחשבים x^2 - 5x +6 עבור 2 ו-3
למה
הלוגריתם מוגדר רק לחיובי
ל-x=2 ול-x=3 הערך הוא 0, לא חיובי, ולכן פסולים
נוסחה / הצבה
x בריבוע - 5x + 6 > 0x^2 - 5x +6 > 0x^2 - 5x + 6 > 0מספרים לא בתחום - אין פתרונות תקינים
5תשובה
קובעים שאין פתרון תקף
תשובה
קובעים שאין פתרון תקף
מה עושים
מסכמים שאין פתרונות בתחום ההגדרה
למה
הלוגריתם לא מוגדר לאפס או מספרים שליליים
המשוואה אין לה פתרון תקף במעגל המספרים הממשיים
תשובה זו מדויקת כמו מציאת פתרון
פתרונות כלליים
- פתור משוואה לוגריתמית בסיסית: לפי חוק החזקה בלוגריתם, 3 בחזקה log_3(317) = 317
- בדיקת פתרונות משוואה לוגריתמית: לפי החוק e בחזקה log_e(...) שווה לארגומנט: x^2 - 5x + 6 = 0. הפתרונות הם x=2 ו-x=3. יש לבדוק אם זה בתחום ההגדרה של הלוגריתם. הביטוי בתוך הלוגריתם צריך להיות חיובי. ל-x=2, הערך הוא 2^2 - 5*2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0, לא חיובי. ל-x=3, הערך הוא 9 - 15 + 6 = 0, גם לא חיובי. לכן, הפתרונות אינם בתחום ההגדרה והמשוואה אין לה פתרונות תקפים.
- פתרון משוואה לוגריתמית עם מעבר בסיסים: לפי חוק המעבר: log_2(x) = log_e(x) / log_e(2). נתון: log_e(x) + (log_e(y) / log_e(2)) = 10. הציב t = log_e(x). חשב את המקדם 1 / log_e(2) ≈ 2.4. לכן: t + 2.4 * log_e(y) =10. בהינתן ערכי y, פתרון t = (10 - 2.4*log_e(y)). מחלצים x=e^t.
- משוואה לוגריתמית עם הצבה ובקרה: לפי החוק: e^{log_e(x)} = x. אז המשוואה היא: x - 10 = 0. מכאן: x = 10. בדיקת תחום: x צריך להיות חיובי, 10 > 0 ולכן תקין.