וידאו · משוואות לוגריתמיות
א2. חוקי לוגים ומשוואות לוגריתמיות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- במהלך השיעור נלמדים חוקי הלוגריתמים ופתרון משוואות לוגריתמיות, עם דגש על זיהוי תחום ההגדרה, הקפדה על סימני פלוס-מינוס, ושימוש במחשבון לבדיקה עצמית של תשובות.
- להבין חוקי הלוגריתמים העיקריים ולהשתמש בהם
- לפתור משוואות לוגריתמיות מורכבות
- לבצע בדיקת תחום הגדרה של לוגריתמים
- להשתמש במחשבון ככלי לבדיקה ואימות פתרונות
- להתמודד עם טעויות נפוצות ולקחת בחשבון את הסימן פלוס-מינוס בפתרונות
- הגדרת הלוגריתם ופתרון משוואות פשוטות: הצגת ההגדרה שהלוגריתם של מספר הוא החזקה שאליה יש להעלות את הבסיס כדי לקבל את המספר. שימוש בדוגמה של לוג על בסיס X של 3 שווה 2.
- תחום ההגדרה של לוגריתם: הסבר על תנאי תחום ההגדרה ללוגריתם: הבסיס חייב להיות חיובי ושונה מאחד, והתוכן חייב להיות חיובי.
- בדיקת תשובה עם מחשבון: הדגמה של הקלדת הביטוי במחשבון וכיצד להשתמש במקש calc לבדוק אם left=right במשוואה.
- שימוש בשינוי משתנה וציון סימון: שימוש בהגדרת T = לוג על בסיס 3 של X כדי לפשט את המשוואה ולעבוד בקלות רבה יותר.
תרגול קצר
פתור את המשוואה לוג בסיס X של 3 שווה 2
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה: לוג על בסיס X של 3 שווה 2.
רמז: השתמש בהגדרת הלוגריתם → X בחזקת 2 שווה 3, ואז הוצא שורש עם סימן פלוס-מינוס.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = או X = -
מההגדרה לוג_b a = c שקול ל- b בחזקת c שווה a. כאן X^2 = 3. לכן X = שורש ריבועי של 3, כלומר X = או X = - שורש ריבועי של 3. יש לבדוק תחום הגדרה ולהסיק מי מתאים.
פתור משוואה עם שינוי משתנה T
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה לוג על בסיס 2 של לוג על בסיס 3 של X שווה 1.
רמז: הצג T = לוג על בסיס 3 של X, והפוך את המשוואה לפשוטה יותר.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = 9
נסמן T = log_3 X. המשוואה היא log_2 T = 1, כלומר 2^1 = T ⇒ T = 2. לכן log_3 X = 2. לפי ההגדרה 3^2 = X ⇒ X = 9.
פתור משוואה עם ביטוי מקונן לבדוק תחום הגדרה
רמת קושי: מאתגר
פתור את המשוואה 2 * log_3 X - 5 = 1.
רמז: העבר אגף כדי לקבל 2 * log_3 X = 6 ואז פתר log_3 X = 3.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = 27
2 log_3 X - 5 = 1 ניתן לכתוב כך: 2 log_3 X = 6 (כי 1+5=6). לכן log_3 X = 3. לפי ההגדרה: 3^3 = X, כלומר X=27. יש לבדוק שהכתובה בתחום ההגדרה (X>0) - מתקיים.
פתור משוואה לוגריתמית עם מוד 5-3
רמת קושי: בגרות
פתור את המשוואה T^2 - 9 = 0 עם T = log_3 X, עם בדיקת מוד 5-3.
רמז: סמן T ואתר את הערכים לפי מוד 5-3 ואז פתר לפי תחום ההגדרה.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = 27
T^2 - 9 = 0 ⇒ (T-3)(T+3)=0 ⇒ T=3 או T=-3. בבדיקת מוד 5-3 רק T=3 מתאים (כי בסיס הלוגריתם חיובי). לכן T=3, כלומר log_3 X=3 ⇒ X=3^3=27.
דרך הפתרון
פתרון משוואה לוגריתמית פשוטה
כיצד לפתור לוג בסיס X של 3 שווה 2
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערך X.
- נתון 1
לוג בסיס X של 3 שווה 2.
- רעיון
הרעיון המרכזי
להמיר את הלוגריתם למשוואה בחזקות ואז לפתור את המשוואה עם בדיקת תחום הגדרה.
- נוסחה
מוציאים שורש ריבועי עם סימן פלוס-מינוס.
X=+שורששל - משוואה
לוגריתם על בסיס X של 3 שווה 2.
לוגריתם על בסיס X של 3 שווה 2.
- פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
X חייב להיות >0 כי הוא בסיס לוגריתם.
- בדיקה
בדיקה קצרה
- המרת הלוגריתם למשוואה בחזקה
- הוצאת שורש עם סימן פלוס מינוס
- זהירות: שכחה לתת סימן פלוס-מינוס בשורש
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
מה עושים
לוגריתם על בסיס X של 3 שווה 2.
למה
זוהי נקודת הפתיחה לפתרון.
log_X 3 = 2
2בחירת שיטה
המרה למשוואת חזקה
בחירת שיטה
המרה למשוואת חזקה
מה עושים
ממיר את הלוגריתם לביטוי בחזקת X.
למה
לפי ההגדרה לוג_b a = c שקול ל-b בחזקת c שווה a.
X^2 = 3
נוסחה / הצבה
Xריבוע=3X^2 = 3זכור: זהו החיבור בין לוגריתם לאקספוננט.
3בניית משוואה
משוואה בחזקות
בניית משוואה
משוואה בחזקות
מה עושים
הכתבה ברורה של המשוואה החדשה.
למה
המשוואה מוכנה לפיתרון.
X בחזקת 2 שווה 3.
4פתרון
הוצאת שורש לשני האגפים
פתרון
הוצאת שורש לשני האגפים
מה עושים
מוציאים שורש ריבועי עם סימן פלוס-מינוס.
למה
כדי לקבל את הערכים האפשריים ל-X.
X = או X = -.
נוסחה / הצבה
X=+שורששלאל תשכח לבדוק תחום הגדרה.
5בדיקה
בדוק אם X מתאים לתחום ההגדרה
בדיקה
בדוק אם X מתאים לתחום ההגדרה
מה עושים
X חייב להיות >0 כי הוא בסיס לוגריתם.
למה
הלוגריתם מוגדר רק בבסיס חיובי ושונה מאחד.
בסיס X > 0, לכן X = תקף, X = - נפסל.
תחום ההגדרה חשוב למניעת פתרונות שגויים.
6תשובה
פיתרון סופי
תשובה
פיתרון סופי
מה עושים
הצג את הערך התקף של X.
למה
רק הפתרון שעומד בתנאי תחום ההגדרה הוא נכון.
X =
פתרונות כלליים
- פתור את המשוואה לוג בסיס X של 3 שווה 2: מההגדרה לוג_b a = c שקול ל- b בחזקת c שווה a. כאן X^2 = 3. לכן X = שורש ריבועי של 3, כלומר X = או X = - שורש ריבועי של 3. יש לבדוק תחום הגדרה ולהסיק מי מתאים.
- פתור משוואה עם שינוי משתנה T: נסמן T = log_3 X. המשוואה היא log_2 T = 1, כלומר 2^1 = T ⇒ T = 2. לכן log_3 X = 2. לפי ההגדרה 3^2 = X ⇒ X = 9.
- פתור משוואה עם ביטוי מקונן לבדוק תחום הגדרה: 2 log_3 X - 5 = 1 ניתן לכתוב כך: 2 log_3 X = 6 (כי 1+5=6). לכן log_3 X = 3. לפי ההגדרה: 3^3 = X, כלומר X=27. יש לבדוק שהכתובה בתחום ההגדרה (X>0) - מתקיים.
- פתור משוואה לוגריתמית עם מוד 5-3: T^2 - 9 = 0 ⇒ (T-3)(T+3)=0 ⇒ T=3 או T=-3. בבדיקת מוד 5-3 רק T=3 מתאים (כי בסיס הלוגריתם חיובי). לכן T=3, כלומר log_3 X=3 ⇒ X=3^3=27.