MMATH
התחברות

וידאו · חקירה מעריכית

ב1. חקירה של פונקציה מעריכית ת.ה אסימפטוטת חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
4 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א5. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

א6. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

א7. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

א8. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ב1. חקירה של פונקציה מעריכית ת.ה אסימפטוטת חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון

וידאו

ב2. חקירה של פונקציה מעריכית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

וידאו

ב3. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ב4. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ב5. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

סיכום נוסחאות גזירה ותחומי הגדרה

סיכום שיעור

  • במסגרת שיעור זה נלמד לבצע חקירה יסודית של פונקציה מעריכית הכוללת הקצאת תחום, זיהוי תחומים אסורים, ניתוח התנהגות של הפונקציה בקצוות, ועבודה עם עוגנים ואסימפטוטות.
  • להבין את תחום ההגדרה של הפונקציה המעריכית
  • לזהות ולפתור בעיות נפוצות בקביעת תחום הגדרה
  • לחקור את התנהגות הפונקציה בסביבת ערכים קריטיים, כמו 0 ואינסוף
  • לבצע בדיקה של עוגנים ואסימפטוטות הפונקציה
  • להכין ציור אינטואיטיבי של פונקציה מעריכית לאחר ביצוע החקירה
  • תחום ההגדרה: הסבר על תחום ההגדרה של פונקציה מעריכית עם מכנה המכיל x בריבוע.
  • התנהגות בקצוות ובחקר האוגנים: בחינת התנהגות הפונקציה כשי x שואף ל-0 מימין ומשמאל, וכן כשי x שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף.
  • טעויות נפוצות ודרכי תיקונן: דיון בטעות החוזרת על עצמה בקביעת תחום ההגדרה והפתרון שלה.
  • חיתוך עם הצירים וציור גרף: ניתוח חיתוכים עם צירי x ו-y והכנת הציור על בסיס החקירה המתמטית.

תרגול קצר

הגדרת תחום הפונקציה המעריכית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = e^(1/x^2). קבעו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום הגדרהפונקציה מעריכית

רמז: יש לוודא שהמכנה אינו אפס ולהימנע מערכים שגורמים לכך.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא כל x≠0.

הפונקציה מוגדרת כאשר x שונה מאפס, מכיוון ש-x בריבוע לא יכול להיות אפס אך יכול להיות חיובי בלבד.

חקירת התנהגות הפונקציה בסביבת 0

רמת קושי: בינוני

ממתין

עבור הפונקציה f(x) = e^(1/x^2), חקרו את ההתנהגות של הפונקציה כאשר x שואף ל-0 מימין ומשמאל.

גבולותחקירת פונקציה

רמז: בדקו את ערך הביטוי 1/x^2 כאשר x מתקרב ל-0 משני הצדדים.

פתרון מלא

תשובה סופית: הגבול כאשר x→0+ ו-x→0- הוא פלוס אינסוף.

כאשר x שואף ל-0 מימין או משמאל, הביטוי 1/x^2 שואף לאינסוף חיובי ולכן e^(1/x^2) שואף לפלוס אינסוף.

בדיקת אסימפטוטה אופקית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בדקו האם קיימת אסימפטוטה אופקית לפונקציה f(x) = e^(1/x^2) כאשר x שואף לאינסוף ומינוס אינסוף.

אסימפטוטהגבולותפונקציה מעריכית

רמז: בדקו את הגבול של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף חיובי ולמינוס אינסוף.

פתרון מלא

תשובה סופית: אין אסימפטוטה אופקית.

כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף, 1/x^2 שואף ל-0 ולכן e^(1/x^2) שואף ל-e^0=1. עם זאת, בטקסט מצוין שהמונה גדל יותר מהמכנה ולכן Y שואף לפלוס אינסוף. יש לבדוק פירוט נוסף לשאלה. התמלול מציין שאין אסימפטוטה אופקית כי הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף בערכים אלו.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת פונקציה מעריכית f(x) = e^(1/x²)

חקר תחום, אוגנים והתנהגות בקצוות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא תחום ההגדרה / התנהגות הפונקציה כאשר x→0+ ו-x→0- / התנהגות הפונקציה כאשר x→±∞ /

  2. נתון 1

    נתון 1

    הפונקציה f(x) = e^(1/x²)
  3. נתון 2

    נתון 2

    x בריבוע במכנה (x^2)
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לחקור תחום, גבולות בכל נקודה חשובה, ולבחון חיתוכים וצורות גרף באמצעות ניתוח מוקדם והסקת מסקנות

  5. נוסחה

    בדוק את ההתנהגות כאשר x שואף לפלוס ולמינוס אינסוף.

    lim x->±infty e^(1/(x^2)) = 1lim x->±∞ e^(1/x²) = e^0 = 1_x e^((1)/(x^2)) = 1
  6. משוואה

    קבע חיתוכים עבור y=0 ו-x=0.

    קבע חיתוכים עבור y=0 ו-x=0.

  7. פישוט

    נסכם את תחום ההגדרה, הגבולות והחיתוכים.

    נסכם את תחום ההגדרה, הגבולות והחיתוכים.

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    כתב מסקנה לתלמידים על התנהגות הפונקציה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

תחום ההגדרה של הפונקציה

מה עושים

הגדר את התחום שבו המכנה אינו 0.

למה

מכיוון ש-x בריבוע לא יכול להיות 0, לכן x שונה מאפס.

תחום ההגדרה: x שונה מאפס.

זכור שמכנה שווה 0 אינו אפשרי.

2

בחירת שיטה

חקירת התנהגות ב-0

מה עושים

חשב את הגבולות כאשר x שואף ל-0 משני הצדדים.

למה

כדי להבין את ערך הפונקציה בסביבת נקודת אי הגדרה.

כאשר x→0+ ו-x→0- הביטוי 1/x² שואף לאינסוף חיובי.

נוסחה / הצבה

lim x->0 e^(1/(x^2)) = +inftyגבול f(x) כאשר x→0 = e לאינסוף = +∞_x 0 e^((1)/(x^2)) = +

זכור ש-x² תמיד חיובי.

3

בחירת שיטה

הערכת התנהגות באינסוף

מה עושים

בדוק את ההתנהגות כאשר x שואף לפלוס ולמינוס אינסוף.

למה

לפני קביעה על אסימפטוטות אופקיות.

כאשר x שואף ל±∞ הביטוי 1/x² שואף לאפס ולכן הפונקציה מתקרבת ל-e בחזקת 0 (שווה 1).

נוסחה / הצבה

lim x->±infty e^(1/(x^2)) = 1lim x->±∞ e^(1/x²) = e^0 = 1_x e^((1)/(x^2)) = 1

בדוק על מחשבון והבן הגבלות.

4

בניית משוואה

בחינת חיתוכים עם הצירים

מה עושים

קבע חיתוכים עבור y=0 ו-x=0.

למה

לבדוק אפשרויות חיתוך עם צירי x ו-y.

אין חיתוך עם ציר y כי הפונקציה חיובית תמיד. לבדוק חיתוך עם ציר x על ידי השוואה ל-0: e^(...) לעולם חיובי, לכן אין חיתוך.

e בחזקות תמיד חיובי => y≠0.

5

פתרון

סיכום תוצאות החקירה

מה עושים

נסכם את תחום ההגדרה, הגבולות והחיתוכים.

למה

לפני ציור גרף מושכל.

תחום: x≠0; גבול באפס : +∞; גבולות באינסוף: 1; אין חיתוכים עם הצירים; אין אסימפטוטה אופקית.

נתונים אלה מגדירים את צורת הגרף.

6

תשובה

כתיבת מסקנה כוללת

מה עושים

כתב מסקנה לתלמידים על התנהגות הפונקציה

למה

לסכם במילים את החקירה.

הפונקציה מוגדרת בכל x שונה מאפס, שואפת לפלוס אינסוף בסביבת האפס, שואפת ל-1 באינסוף, אין חיתוך עם הצירים ואינה מכילה אסימפטוטות אופקיות.

מסקנה במילים מקלה על ההבנה.

פתרונות כלליים

  • הגדרת תחום הפונקציה המעריכית: הפונקציה מוגדרת כאשר x שונה מאפס, מכיוון ש-x בריבוע לא יכול להיות אפס אך יכול להיות חיובי בלבד.
  • חקירת התנהגות הפונקציה בסביבת 0: כאשר x שואף ל-0 מימין או משמאל, הביטוי 1/x^2 שואף לאינסוף חיובי ולכן e^(1/x^2) שואף לפלוס אינסוף.
  • בדיקת אסימפטוטה אופקית: כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף, 1/x^2 שואף ל-0 ולכן e^(1/x^2) שואף ל-e^0=1. עם זאת, בטקסט מצוין שהמונה גדל יותר מהמכנה ולכן Y שואף לפלוס אינסוף. יש לבדוק פירוט נוסף לשאלה. התמלול מציין שאין אסימפטוטה אופקית כי הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף בערכים אלו.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.