וידאו · תרגילים מסוגים שונים
אנליטית פרבולה ומעגל 23.09.20 ארז כהן
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בפתרון תרגילים באנליטית על פרבולה ומשיקים, כולל מציאת משוואות משיקים, משוואות מעגלים, וזיהוי מקום גיאומטרי של נקודות עם תנאי יחס מרחקים.
- להבין כיצד להשתמש במשוואת פרבולה
- למצוא משוואות משיקים לנקודות על פרבולה
- לחשב משוואות מעגל משיקים לצירים ולישרים
- לזהות ולפתור בעיות של מקום גיאומטרי עם משיקים ומעגלים
- הגדרת הפרבולה והנקודות המשיק: הפרבולה y בריבוע שווה ל-8x, נתונות נקודות a ו-b ברבעים שונים בפרבולה שמשיקים אליהם נעביר.
- מציאת משוואות המשיקים: מציאת משוואות המשיקים לנקודות a ו-b בפרמטר t, חישוב נקודת החיתוך m בין המשיקים.
- בניית משוואת המעגל המשיק: המעגל מרכזו בנקודת החיתוך m בין המשיקים, משיק לציר ה-x ולישר נוסף.
- מעגל נוסף עם קוטר AB: בניית מעגל שעובר דרך נקודות A ו-B כאשר הקטע AB הוא קוטר המעגל.
- מקום גיאומטרי של נקודות Q: מציאת המקום הגיאומטרי של נקודות Q הקשורות למשיקים למעגלים מרכזים M ו-O עם יחס מרחקים של 3.
תרגול קצר
מציאת משוואת המשיק לנקודה על פרבולה
רמת קושי: קל
נתונה הפרבולה y²=8x ונקודה a שה-y שלה הוא -t (עם t בין 0 ל-4). מצא את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה a.
רמז: השתמש במשוואת המשיק לפרבולה y y₁ = 4 (x + x₁). חשב את x₁ לפי y₁ שהתקבלו.
פתרון מלא
תשובה סופית: y(-t) = 4x + 4 (t²/8)
הנקודה a היא (-t²/8, -t). משוואת המשיק היא y(-t) = 4 (x + t²/8). סדר ואפס אגפים לקבלת משוואת הישר בשיפוע p=4.
מיקום נקודת החיתוך בין שני משיקים לפרבולה
רמת קושי: בינוני
בהינתן t כפרמטר ב-0<t<4, נקודת a היא (-t²/8,-t) ונקודת b היא (9t²/8,3t). מצא את נקודת החיתוך m בין המשיקים בנקודות a ו-b בפרבולה y²=8x.
רמז: מצא משוואות של שני המשיקים בנקודות a ו-b, ואז פתר מערכת משוואות ל-x ו-y.
פתרון מלא
תשובה סופית: m = (-3 t² / 8 , t)
משוואות המשיקים בנקודות a ו-b הן yy₁ = 4(x + x₁) עם נקודות a ו-b. פתרון המערכת נותן: x_m = -3t²/8 ו-y_m = t.
משוואת המעגל המשיק לציר ה-x ולישר נוסף
רמת קושי: מאתגר
המעגל מרכזו בנקודת חיתוך המשיקים m = (-3 t² / 8, t), משיק לציר ה-x ולקו ישר 6x - 8y + 45 = 0. נמצא את המשוואה של המעגל, כאשר רדיוסו שווה ל-t.
רמז: המרחק מהמרכז (נקודת חיתוך המשיקים) לישר חייב להיות שווה לרדיוס המעגל t.
פתרון מלא
תשובה סופית: (x + 3 t² / 8)² + (y - t)² = t² עם t=2
מרחק נקודה מהמישור הוא: |6 x_m - 8 y_m + 45| / sqrt(6² + (-8)²) = t. הצבה של x_m ו-y_m נותנת משוואה ב-t שגוררת פתרון T=2 במסגרת תחום ההגדרה. משוואת המעגל: (x + 3 t²/8)² + (y - t)² = t².
מקום גיאומטרי של נקודות עם תנאי יחס מרחקים
רמת קושי: בגרות
נקודה Q במישור. שני מעגלים במרכזים M ו-O. נסמן D ו-E כנקודות משיקים מהנקודה Q למעגלים M ו-O בהתאמה. ידוע שיחס המרחקים D : E = 1 : 3. מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות Q.
רמז: השתמש בביטויי מרחק בין נקודה למרכז המעגל ובתנאי היחס על המרחקים בין הנקודות Q לשני המעגלים.
פתרון מלא
תשובה סופית: (x + 1/2)² + (y - 1/2)² = 24.25
באמצעות פיתגורס נרשום את המרחקים ונשתמש ביחס כדי לגזור משוואה אחת ב-x ו-y. השלמת ריבוע מייצרת משוואת מעגל שמהווה את המקום הגיאומטרי.
דרך הפתרון
פתרון תרגיל - מציאת משוואת המעגל המשיק
שלבים לפתרון תרגיל על פרבולה ומשיקים עם מעגל
מפת פתרון
- מטרה
למצוא משוואות המשיקים / משוואת המעגל המשיק
- נתון 1
נתון 1
פרבולה y²=8x - נתון 2
נתון 2
נקודה a ב-y=-t, עם 0<t<4 - נתון 3
נתון 3
נקודה b עם y=3t - רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בפרמטר t לייצוג הנקודות, נמצא משוואות משיקים, נקודת החיתוך m, ונשתמש בתנאי משיקיות המעגל
- נוסחה
כתוב משוואות המשיקים לנקודות a ו-b
y * y1 = 4 * (x + x1)y y_1 = 4(x + x_1) - משוואה
חשב את מרחק מרכז המעגל מישר 6x - 8y + 45 = 0 והשווה לרדיוס t
חשב את מרחק מרכז המעגל מישר 6x - 8y + 45 = 0 והשווה לרדיוס t
ABS(6 * x_m - 8 * y_m + 45) / sqrt(36 + 64) = t|6 x_m - 8 y_m + 45| / sqrt(6² + 8²) = t(|6x_m - 8y_m + 45|)/(6^2 + (-8)^2) = t - פישוט
פתור את מערכת המשוואות של שני המשיקים
פתור את מערכת המשוואות של שני המשיקים
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת נקודות על הפרבולה
זיהוי נתונים
הגדרת נקודות על הפרבולה
מה עושים
הגדר את הנקודות a ו-b בפרמטר t
למה
לבטא את הנקודות על הפרבולה לפי פרמטר y
a = (-t²/8, -t), b = (9t²/8, 3t)
שים לב לטווח הערכים של t שמוגדר בין 0 ל-4
2בניית משוואה
כתיבת משוואות המשיקים
בניית משוואה
כתיבת משוואות המשיקים
מה עושים
כתוב משוואות המשיקים לנקודות a ו-b
למה
משיק לפרבולה בעזרת הנקודות שנבחרו
מסוג yy₁ = 4 (x + x₁) עבור כל נקודה
נוסחה / הצבה
y * y1 = 4 * (x + x1)y y_1 = 4(x + x_1)החלף y1 ו-x1 לפי נקודות a ו-b
3פתרון
מציאת נקודת החיתוך m
פתרון
מציאת נקודת החיתוך m
מה עושים
פתור את מערכת המשוואות של שני המשיקים
למה
למצוא את נקודת החיתוך בין המשיקים
המערכת נותנת m = (-3 t²/8, t)
ערוך והכנס את הביטויים המתאימים
4בניית משוואה
חישוב תנאי משיקיות המעגל
בניית משוואה
חישוב תנאי משיקיות המעגל
מה עושים
חשב את מרחק מרכז המעגל מישר 6x - 8y + 45 = 0 והשווה לרדיוס t
למה
כדי לוודא שהמעגל משיק לישר
המרחק מהמרכז לישר = t
נוסחה / הצבה
ABS(6 * x_m - 8 * y_m + 45) / sqrt(36 + 64) = t|6 x_m - 8 y_m + 45| / sqrt(6² + 8²) = t(|6x_m - 8y_m + 45|)/(6^2 + (-8)^2) = tהשתמש בערכי x_m ו-y_m מהשלב הקודם
5פתרון
פתרון משוואת t
פתרון
פתרון משוואת t
מה עושים
פתור משוואה לקבלת ערך t מתאים בתחום
למה
קבע את ערך t שיקיים את תנאי המשיקיות
התוצאה האפשרית היא t=2, שמתאימה לתנאי t בין 0 ל-4
התעלם מפתרונות מחוץ לתחום הפרמטר
6תשובה
כתיבת משוואת המעגל
תשובה
כתיבת משוואת המעגל
מה עושים
כתוב את משוואת המעגל עם מרכז m ורדיוס t
למה
לסיים את מציאת משוואת המעגל
(x + 3 t²/8)² + (y - t)² = t² עם t=2
נוסחה / הצבה
(x + 3 * t^2 / 8)^2 + (y - t)^2 = t^2(x + 3 t² / 8)^2 + (y - t)^2 = t^2(x + (3 t^2)/(8))^2 + (y - t)^2 = t^2הצבת t=2 נותנת פתרון סופי
פתרונות כלליים
- מציאת משוואת המשיק לנקודה על פרבולה: הנקודה a היא (-t²/8, -t). משוואת המשיק היא y(-t) = 4 (x + t²/8). סדר ואפס אגפים לקבלת משוואת הישר בשיפוע p=4.
- מיקום נקודת החיתוך בין שני משיקים לפרבולה: משוואות המשיקים בנקודות a ו-b הן yy₁ = 4(x + x₁) עם נקודות a ו-b. פתרון המערכת נותן: x_m = -3t²/8 ו-y_m = t.
- משוואת המעגל המשיק לציר ה-x ולישר נוסף: מרחק נקודה מהמישור הוא: |6 x_m - 8 y_m + 45| / sqrt(6² + (-8)²) = t. הצבה של x_m ו-y_m נותנת משוואה ב-t שגוררת פתרון T=2 במסגרת תחום ההגדרה. משוואת המעגל: (x + 3 t²/8)² + (y - t)² = t².
- מקום גיאומטרי של נקודות עם תנאי יחס מרחקים: באמצעות פיתגורס נרשום את המרחקים ונשתמש ביחס כדי לגזור משוואה אחת ב-x ו-y. השלמת ריבוע מייצרת משוואת מעגל שמהווה את המקום הגיאומטרי.