MMATH
התחברות

וידאו · תרגילים מסוגים שונים

חקירת לן סעיף א+ב 220920 - 1

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%

סיכום שיעור

  • במסגרת שיעור זה חקרנו פונקציה מסוג lan חלקי פונקציה ריבועית של lan x, נמצאנו פתרון לפרמטרים a ו-b באמצעות נקודת מעבר ונקודת משיק, ביצענו חקירת תחום הגדרה כולל מציאת נקודות חור ואסימפטוטות אנכיות ואופקיות, ובחנו את סימטריית הפונקציה ותכונת העלייה שלה דרך ניתוח הנגזרת.
  • לזהות פונקציה עם פרמטרים ולנסח משוואות המגדירות אותם
  • לבצע חישובי נגזרת רציונלית הכוללת לוגריתמים טבעיים
  • לחפש נקודות חור ותחום הגדרה של פונקציה רציונלית עם תנאים על הלוגריתם
  • לחקור אסימפטוטות אנכיות ואופקיות של פונקציה
  • להבין ולנתח סימטריות ותחומים שבהם הפונקציה עולה או יורדת
  • להשתמש בנתוני משיק ומעבר כדי לקבוע פרמטרים בצורה אלגברית
  • הגדרת התרגיל ופרמטרים: ההגדרה של הפונקציה היא y = (a - ln x) / (ln x)^2 - ln x + b כאשר a ו-b הם פרמטרים חיוביים וידועים.
  • בניית משוואות לפרמטרים: מהנתונים של נקודת מעבר ונקודת משיק בנקודה x = e^(1/3) התקבלו שתי משוואות יחידות עם a ו-b שעזרו למצוא קשר ביניהם ולפתור את ערכי הפרמטרים.
  • דיפרנציאל הנגזרת והטרנספורמציה: בוצעה נגזרת של הפונקציה תוך טיפול במונה ומכנה נפרדים, נבנתה משוואה חדשה לשיפוע המשיק ובוצעה הצבה חוזרת לבדיקת תקפות החישוב.

תרגול קצר

הצבת נקודת מעבר ומציאת משוואות לפרמטרים

רמת קושי: קל

ממתין

פונקציה נתונה f(x) = (a - ln x) / ( (ln x)^2 - ln x + b ), כאשר a,b פרמטרים חיוביים. ידוע שהפונקציה עוברת בנקודה (e^(1/3), -1/2) ושהמשיק בפונקציה בנקודה זו מאונך ישר y=-8/3 e^(1/3) x. מצא משוואות לקביעת a ו-b.

פונקציהנגזרתפרמטריםlnמשיק

רמז: - להציב x=e^(1/3) בפונקציה ולקבל משוואה ראשונה - לחשב נגזרת f'(x) ולהכין משוואה שנייה לפי שיפוע המשיק

פתרון מלא

תשובה סופית: מערכת המשוואות שמייצגת את הפרמטרים a ו-b היא: (a - 1/3) / (1/9 - 1/3 + b ) = -1/2 ופונקציית השיפוע: f'(e^(1/3)) = 3/(8 e^(1/3))

1. הצבת x=e^(1/3) בפונקציה: ln(e^(1/3))=1/3 אז הפונקציה שווה ל: (a - 1/3) / ( (1/3)^2 - 1/3 + b ) = -1/2 2. שיפוע הישר הוא -8/3 e^(1/3) => שיפוע המשיק הוא הופכי ונגדי = 3/(8 e^(1/3)) 3. לחשב נגזרת f'(x) ולהציב x=e^(1/3) את הערך לשיפוע המשיק 4. לקבל משוואה נוספת ולפתור מערכת של שתי המשוואות למציאת a ו-b

בחינת תחום ההגדרה וגבולות אסימפטוטיות

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = (a - ln x) / ( (ln x)^2 - ln x + b ), אותה חקרת קודם. מצא את תחום ההגדרה שלה ואת אסימפטוטותיה (אנכיות ואופקיות).

תחום הגדרהאסימפטוטותגבולותln

רמז: - תחום ההגדרה מחייב x>0 וגם שהמכנה לא יהיה אפס - פתר את המשוואה של מכנה האפס כדי למצוא נקודות אי-הגדרה - בדוק את הגבולות של הפונקציה כש-x שואף לאותן נקודות וללאינסוף

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: x>0, x ≠ 1/e, x ≠ e^2 אסימפטוטות אנכיות: x=1/e ו-x=e^2 אסימפטוטה אופקית: y=0

1. תנאי x>0 מ-ln(x) כי הלוגריתם מוגדר רק כך 2. תנאי כי המכנה (ln x)^2 - ln x + b ≠ 0 פתרון המשוואה y^2 - y + b=0 בדאל לשורשים 3. נקודות חור ב-x = e^{-1} (שהוא 1/e) ו-x = e^{2} 4. חישוב גבולות בצדדים השונים של נקודות אלו וקביעת אסימפטוטות אנכיות באותן נקודות 5. לבדוק גבול x→∞ ולראות שהפונקציה מתקרבת ל-0 כך אסימפטוטה אופקית היא y=0

הוכחת פונקציה בעלת נגזרת חיובית בכל התחום

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הוכח ש-f'(x) > 0 לכל x בתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)=(a - ln x)/( (ln x)^2 - ln x + b ).

נגזרתחיוביותהוכחהתחום הגדרה

רמז: - נחשב את הנגזרת ל-f'(x) תוך שימוש בכלל המנה - נכתוב את הנגזרת בצורה מפושטת כמה שניתן - ננתח את סימן האיברים וחזקת המכנה בתחום ההגדרה

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) > 0 עבור כל x בתחום ההגדרה, כלומר הפונקציה עולה בכל התחום

נגזרת: f'(x)=(1/x) * [ טור של ביטוי עם ln(x) בפרמטרים מוגדרים ] / ( (ln x)^2 - ln x + b )^2 המכנה בריבוע תמיד חיובי במחנה, ונגזרות הלוגריתמים מובילים לכך שהמונה בתוך הסוגריים הוא חיובי לכל x>0 לכן f'(x) תמיד חיובי בתחום ההגדרה

פתרון משוואות לפרמטרים והסקת תחום הגדרה

רמת קושי: בגרות

ממתין

פונקציה נתונה עם שני פרמטרים ותנאי מעבר ומשיק כפי שתוארו, מצא את a ו-b וחקור את תחום ההגדרה של הפונקציה.

בגרותפונקציהמשךתחום הגדרה

רמז: 1. להציב את נקודת המעבר בפונקציה ולקבל משוואה ל-a,b 2. לחשב נגזרת ולהציב את שיפוע המשיק 3. לפתור את מערכת המשוואות 4. לבדוק איפה המכנה מתאפס ולמצוא תחום הגדרה 5. קבע את האסימפטוטות לפי הגבולות

פתרון מלא

תשובה סופית: a=3, b=-6 תחום הגדרה: x>0, x≠1/e, x≠e^2 אסימפטוטות אנכיות: x=1/e, x=e^2 אסימפטוטה אופקית: y=0

(כל השלבים שהוצגו בשיעור יושלמו ויסוכמו בסוגר)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקר פונקציה עם נקודת מעבר ומשיק

מציאת פרמטרים, תחום הגדרה ואסימפטוטות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא פרמטרים a ו-b / תחום ההגדרה של הפונקציה / אסימפטוטות אנכיות ואופקיות

  2. נתון 1

    נתון 1

    f(x) = (a - ln x) / ( (ln x)^2 - ln x + b )
  3. נתון 2

    נתון 2

    f(e^(1/3)) = -1/2
  4. נתון 3

    נתון 3

    המשיק לנקודה ב-x = e^(1/3) מאונך לישר y = -8/3 e^(1/3) x
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להשתמש בהצבת נקודת המעבר, לחשב ולשוות נגזרת לשיפוע המשיק, לפתור משוואות לפרמטרים, לחקור איפה

  6. נוסחה

    נשתמש בהצבה ובנגזרת ונרכיב משוואות עבור a,b

    (a - 1/3) / (1/9 - 1/3 + b) = -1/2f'(e^(1/3)) = 3/(8 e^(1/3))
  7. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  8. פישוט

    נרכיב ונפשט את המשוואות כדי למצוא b כפונקציה של a, ואז נחשב בערכים

    נרכיב ונפשט את המשוואות כדי למצוא b כפונקציה של a, ואז נחשב בערכים

    b = - 2 aפתרון ריבועי שמשווה ערך של a ל-3

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציה

מה עושים

נגדיר את הפונקציה עם הפרמטרים

למה

לזהות את המבנה להמשך העבודה

f(x) = (a - ln x) / ( (ln x)^2 - ln x + b )

2

זיהוי נתונים

נקודת מעבר ומשיק

מה עושים

ידוע כי f(e^{1/3}) = -1/2 והשיפוע במשיק הוא ההופכי והנגדי של -8/3 e^{1/3}

למה

כל התנאים נחוצים לפתרון הפרמטרים

f(e^{1/3}) = -1/2; שיפוע משיק = 3/(8 e^{1/3})

3

בניית משוואה

כתיבת משוואות לפרמטרים

מה עושים

נשתמש בהצבה ובנגזרת ונרכיב משוואות עבור a,b

למה

כדי למצוא ביטוי ל-a ו-b

(a - ln(e^{1/3})) / ((ln(e^{1/3}))^2 - ln(e^{1/3}) + b) = -1/2 f'(e^{1/3}) = 3/(8 e^{1/3})

נוסחה / הצבה

(a - 1/3) / (1/9 - 1/3 + b) = -1/2f'(e^(1/3)) = 3/(8 e^(1/3))

השתמשו בלוגריתם של חזקות

4

פתרון

פתרון מערכת המשוואות

מה עושים

נרכיב ונפשט את המשוואות כדי למצוא b כפונקציה של a, ואז נחשב בערכים

למה

מזהים את הערכים המדויקים לפרמטרים

הקשר הראשון: b = -2 a הקשר שני: משוואת ריבועית a → הפתרונות הם a=3 או אחר

נוסחה / הצבה

b = - 2 aפתרון ריבועי שמשווה ערך של a ל-3

יש לשים לב להכפלה בצדדים ולפישוט נכון

5

זיהוי נתונים

תחום ההגדרה

מה עושים

לזהות איפה הפונקציה אינה מוגדרת ולמצוא איסורים על x

למה

השפעת המכנה ולוגריתם על תחום ההגדרה

x > 0 ln(x) ≠ 2; ln(x) ≠ -1 → x ≠ e^{2}, x ≠ 1/e

זכרו שתחום הלוגריתם מונע ערכים שליליים או אפס

6

בחירת שיטה

בדיקת גבולות לאסימפטוטות

מה עושים

חשב את הגבולות של הפונקציה בנקודות הבעיתיות ובאינסוף

למה

לקבוע אסימפטוטות אנכיות ואופקיות

גבול x→0+ → y→0 (נקודת חור) גבול x→(1/e)^- ו- (1/e)^+ → שואפים לאינסוף עם סימנים שונים גבול x→∞ → y→0^- (אסימפטוטה אופקית)

פתרונות כלליים

  • הצבת נקודת מעבר ומציאת משוואות לפרמטרים: 1. הצבת x=e^(1/3) בפונקציה: ln(e^(1/3))=1/3 אז הפונקציה שווה ל: (a - 1/3) / ( (1/3)^2 - 1/3 + b ) = -1/2 2. שיפוע הישר הוא -8/3 e^(1/3) => שיפוע המשיק הוא הופכי ונגדי = 3/(8 e^(1/3)) 3. לחשב נגזרת f'(x) ולהציב x=e^(1/3) את הערך לשיפוע המשיק 4. לקבל משוואה נוספת ולפתור מערכת של שתי המשוואות למציאת a ו-b
  • בחינת תחום ההגדרה וגבולות אסימפטוטיות: 1. תנאי x>0 מ-ln(x) כי הלוגריתם מוגדר רק כך 2. תנאי כי המכנה (ln x)^2 - ln x + b ≠ 0 פתרון המשוואה y^2 - y + b=0 בדאל לשורשים 3. נקודות חור ב-x = e^{-1} (שהוא 1/e) ו-x = e^{2} 4. חישוב גבולות בצדדים השונים של נקודות אלו וקביעת אסימפטוטות אנכיות באותן נקודות 5. לבדוק גבול x→∞ ולראות שהפונקציה מתקרבת ל-0 כך אסימפטוטה אופקית היא y=0
  • הוכחת פונקציה בעלת נגזרת חיובית בכל התחום: נגזרת: f'(x)=(1/x) * [ טור של ביטוי עם ln(x) בפרמטרים מוגדרים ] / ( (ln x)^2 - ln x + b )^2 המכנה בריבוע תמיד חיובי במחנה, ונגזרות הלוגריתמים מובילים לכך שהמונה בתוך הסוגריים הוא חיובי לכל x>0 לכן f'(x) תמיד חיובי בתחום ההגדרה
  • פתרון משוואות לפרמטרים והסקת תחום הגדרה: (כל השלבים שהוצגו בשיעור יושלמו ויסוכמו בסוגר)
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.