וידאו · תרגילים מסוגים שונים
חקירת לן סעיף ד 220920 - 3
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה חקרנו כיצד לחשב שטח המוגבל בין פונקציה לוגריתמית לגרפים קבועים באמצעות חישוב אינטגרל נקודתי והקשר לערך הלוגריתמי של משתנה M. שימוש בחוקי הלוגריתם ובפתרון משוואות ריבועיות לסינון הפתרונות.
- להבין כיצד לחשב שטח תחום בין גרפים באמצעות אינטגרל
- ליישם אינטגרל של פונקציה המייצגת נגזרת חלוקה פונקציה על פונקציה
- להשתמש בחוקי הלוגריתמים לפישוט ביטויים
- לפתור משוואות ריבועיות המתקבלות מהפתרון
- לבצע בדיקת תחום וערכי קצה על מנת לסנן פתרונות לא מתאימים
- הגדרת הבעיה: הגדרת השטח המחושב בין העקומה G(x) לבין שני הישרים X=M ו-X=אי בשלישית, כאשר M>אי בשלישית, וידוע כי השטח הוא 5/3.
- חישוב האינטגרל: חישוב אינטגרל של G(x) על פני תחום בין אי בשלישית ל-M, תוך התייחסות לכך שהשטח שלילי ולכן משנים סימן.
- פישוט הביטוי והשוואה לערך המKnown: השוואת תוצאת האינטגרל ל-ln(5/3), המתקבל מהנתון על השטח, ופישוט הביטוי עם נתוני הפונקציה והזכרון שלה.
- הגדרת פונקציית F ומציאת T: החלפה של ln(M) ב-T וניסוח המשוואה לפי T, כדי לפתור את המשוואה המורכבת.
תרגול קצר
חשב את השטח בין פונקציה לוגריתמית ושני ישרים
רמת קושי: קל
יש לך פונקציה G של x, ונתון השטח המוגבל בין הגרף של G(x), הישרים X = M ו- X = אי בשלישית שווה 5/3. הידוע ש-M > אי בשלישית. מצא את ערך M.
רמז: חשב את האינטגרל בין אי בשלישית ל-M של G(x). השתמש בנוסחה של אינטגרל F'/F = ln|F|. כתוב F(M) והשתמש בחוקי הלוגריתמים לפלוט את M.
פתרון מלא
תשובה סופית: M = e^4
כדי למצוא את M מחשבים את האינטגרל בין אי בשלישית ל-M של G(x) שכן השטח הוא Lan(5/3). משתמשים בנוסחה האינטגרלית ln|F|, מפיקים משוואה עם T = ln(M), פותרים משוואות ריבועיות ופונים לפתרונות בתחום T > ln(אי בשלישית). לאחר סינון, הפתרון הוא T=4, ומכאן M= e^4.
דרך הפתרון
מפת פתרון לחישוב M באמצעות אינטגרלים לוגריתמיים
כיצד לחשב M כאשר ידוע השטח בין גרף פונקציה לוגריתמית לשני ישרים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא מציאת הערך M
- נתון 1
גרף הפונקציה G של x
- נתון 2
נתון 2
הישרים X = אי בשלישית ו- X = M - נתון 3
נתון 3
M > אי בשלישית - רעיון
הרעיון המרכזי
נעבור לחשב את האינטגרל של G בין נקודות הגבול, נבטא את האינטגרל באמצעות לוגריתם, נציב ערכים
- נוסחה
מחשבים את האינטגרל של G(x) על תחום האינטגרציה ונעשה התאמה לאינטגרל של
אינטגרל של F'(x)/F(x) dx = ln ערך מוחלט של F(x) + C(F'(x))/(F(x)) dx = |F(x)| + C - משוואה
מגדירים את תחום האינטגרציה בין X= אי בשלישית ל- X= M ומצהירים ש- M > אי
מגדירים את תחום האינטגרציה בין X= אי בשלישית ל- X= M ומצהירים ש- M > אי בשלישית
- פישוט
מבטאים את הביטוי כ-ln|(פונקציה ב-M)/(פונקציה באי בשלישית)| ומשווים
מבטאים את הביטוי כ-ln|(פונקציה ב-M)/(פונקציה באי בשלישית)| ומשווים ל-ln(5/3)
ln ערך מוחלט של F(M) חלקי F של 1/3 = ln 5/3|(F(M))/(F((1)/(3))) | = (5)/(3)
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת תחום האינטגרציה
זיהוי נתונים
הגדרת תחום האינטגרציה
מה עושים
מגדירים את תחום האינטגרציה בין X= אי בשלישית ל- X= M ומצהירים ש- M > אי בשלישית
למה
חיוני לקבוע את תחום החישוב ולוודא שהגבולות נכונים.
יש לחשב את השטח באזור שבין הגרף לישרים אלה, בהתאם לנתונים.
2בניית משוואה
חישוב אינטגרל הפונקציה
בניית משוואה
חישוב אינטגרל הפונקציה
מה עושים
מחשבים את האינטגרל של G(x) על תחום האינטגרציה ונעשה התאמה לאינטגרל של F'/F שיסתיים ב-ln|F|
למה
שימוש בנוסחת אינטגרל מוכרת מפשט את החישוב ומקנה ביטוי לוגריתמי נוח לפתרון.
השימוש בנוסחה זו מפשט את ההגדרה האינטגרלית ומקנה ביטוי ללוגריתם.
נוסחה / הצבה
אינטגרל של F'(x)/F(x) dx = ln ערך מוחלט של F(x) + C(F'(x))/(F(x)) dx = |F(x)| + Cודא להוסיף מינוס במידת הצורך לפי הסימנים של השטח.
3בניית משוואה
פישוט ביטוי האינטגרל
בניית משוואה
פישוט ביטוי האינטגרל
מה עושים
מבטאים את הביטוי כ-ln|(פונקציה ב-M)/(פונקציה באי בשלישית)| ומשווים ל-ln(5/3)
למה
חוקי הלוגריתם מאפשרים לפשט ביטוי של הפרש לוגים ללוגריתם של מנה, נוח לפתרון.
החלפת הסימנים והתחשבות בערך מוחלט תאפשר לכתוב את המשוואה לפתרון.
נוסחה / הצבה
ln ערך מוחלט של F(M) חלקי F של 1/3 = ln 5/3|(F(M))/(F((1)/(3))) | = (5)/(3)זכור להכניס נכון את ערך F(1/3) הנתון מראש.
4בחירת שיטה
הגדרת משתנה ביניים T
בחירת שיטה
הגדרת משתנה ביניים T
מה עושים
מסמנים T = ln(M) להקל על הטיפול במשוואות המתקבלות
למה
החלפה ב-T מפשטת את המשוואה למבנה אלגברי נוח יותר
משתנה T מייצג את לוגריתם הערך המבוקש.
נוסחה / הצבה
T = ln MT = M5פתרון
פתרון המשוואה הריבועית
פתרון
פתרון המשוואה הריבועית
מה עושים
פותרים משוואות ריבועיות במוד 5/3, בודקים אילו פתרונות מתאימים לתנאי T > ln(אי בשלישית)
למה
משוואות ריבועיות נותנות פתרונות רבים, חשוב לסנן לפי תחום תקף
עם הפתרונות מתקבלים שני ערכים, אחד מתאים טווח והאחר לא.
בדוק תמיד את תחום ההגדרה של הפונקציה.
6תשובה
קבלת הפתרון הסופי
תשובה
קבלת הפתרון הסופי
מה עושים
מכיוון ש-T = 4 הוא פתרון תקף, מחשבים M = e בחזקת 4
למה
זה הערך המתאים לתנאי השטח ותחום המוגדר
סיום הפתרון בקבלת הפתרון המוגדר.
נוסחה / הצבה
M = e בחזקת 4M = e^4M = e^(4)פתרונות כלליים
- חשב את השטח בין פונקציה לוגריתמית ושני ישרים: כדי למצוא את M מחשבים את האינטגרל בין אי בשלישית ל-M של G(x) שכן השטח הוא Lan(5/3). משתמשים בנוסחה האינטגרלית ln|F|, מפיקים משוואה עם T = ln(M), פותרים משוואות ריבועיות ופונים לפתרונות בתחום T > ln(אי בשלישית). לאחר סינון, הפתרון הוא T=4, ומכאן M= e^4.