בשיעור זה נלמד להבין תכונות של פירמידות ישרות עם בסיס ריבועי, ננתח את הקשרים בין הזוויות השונות ונפתור משוואות בעזרת סינוסים לצורך חישוב גאומטרי מעמיק.
להבין את המאפיינים של פירמידה ישרה עם בסיס ריבוע
לזהות מתי בסיס מאויין הופך לריבוע בפירמידה ישרה
להבין את תפקיד הגובה והזוויות בפירמידה
ליישם חישובי סינוסים במשולשים במרחב לפתרון בעיות
להימנע מטעויות נפוצות של השוואת צלעות באופן שגוי
הגדרת הפירמידה והבסיס: הפירמידה היא ישרה ובסיסה ריבוע, מה שמבטיח שכל הזוויות הצדדיות ישרות והגובה יורד למרכז מעגל החוסה את הבסיס.
ניתוח זוויות והגדרות במשולשים: המשולשים שמרכיבים את הפירמידה הם משולשים משוקעים, הזוויות בהם קשורות לסינוסים של אלפא ובטא, והחישובים נעשים באמצעות משפטי חפיפה וגיאומטריה.
יישום חישובי סינוסים והמשוואות: באמצעות סימון צלעות והבנת הסינוסים של הזוויות, נבנית משוואה הנשענת על יחס בין הצלעות שמאפשרת לפשט ולהגיע לתוצאה פשוטה בלי תלות במשתנים רבים.

תרגול קצר

חישוב סינוס זווית בטא בפירמידה ישרה בסיס ריבוע

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פירמידה ישרה עם בסיס ריבוע של צלעות באורך 2X. סמן את הזווית בטא במשולש צדדי וחישב את ערך סינוס בטא באמצעות הנתונים.

פירמידה ישרהחישוב זוויותסינוסמשולש משוקע

רמז: השתמש במשולשים משוקעים ובמשפט פיתגורס לגילוי אורכי הצלעות

פתרון מלא

תשובה סופית: סינוס בטא = (שורש של 8 X בריבוע) חלקי (2X) = שורש 2 חלקי 2

סינוס בטא הוא הגבול של יחס היתר לנגד במשולש ישר-זווית. נחשב את האורך של הצלעות בעזרת X ומשפט פיתגורס ונקבל סינוס בטא = שורש של Y בריבוע פחות X בריבוע חלקי Y, כאשר Y שווה לשורש 8 בX בריבוע.

מציאת מכפלת סינוס אלפא וסינוס בטא

רמת קושי: בינוני

ממתין

הניחו כי סינוס אלפא = שורש 2 של X חלקי הערך Age, וסינוס בטא = Age חלקי שני X. הראו כי המכפלה שלהם שווה לשורש 2.

סינוספישוט משוואותפירמידהגאומטריה במרחב

רמז: החלף את הערכים במכפלה ופשט עד לקבלת פישוט פשוט

פתרון מלא

תשובה סופית: מכפלת סינוס אלפא וסינוס בטא = שורש 2 חלקי 2

סין אלפא כפול סין בטא = (שורש 2 של X / Age) * (Age / 2X) = שורש 2 * X / 2X = שורש 2 חלקי 2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב סינוס זווית בטא בפירמידה ישרה מבוססת ריבוע

מדריך צעד-צעד להבנת זוויות ומשוואות בגאומטריה במרחב

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך סינוס של הזווית בטא
נתון 1
פירמידה ישרה עם בסיס ריבוע
נתון 2
אורך צלע הבסיס: 2X
נתון 3
הגדרות זוויות אלפא ובטא במשולשים המשוקעים
רעיון
הרעיון המרכזי
שימוש במשפט פיתגורס למציאת אורך הצלעות, חישוב סינוס בטא לפי יחס צלעות במשולש ישר-זווית ופישוט
נוסחה
סינוס בטא הוא היחס בין הצלע מול זווית בטא לאורך היתר
sin(beta) = y / 2X() = (הצלע\ מול)/(היתר)() = (י)/(2X)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חשב y משורש של 8 X בריבוע, וחלק אותו ב-2X
חשב y משורש של 8 X בריבוע, וחלק אותו ב-2X
y = שורש 8 X בריבועsin(beta) = y / 2X = שורש 2 חלקי 2

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הבסיס פירמידה ריבועי

מה עושים

הבסיס הוא ריבוע וציוני צלעות נתונים כ-2X

למה

זו נקודת ההתחלה להבנת המבנה הגאומטרי והגדרת הצלעות לפתרון.

זיהוי נתונים

זוויות אלפא ובטא במשולש משוקע

מה עושים

הזווית בטא מוגדרת במשולש צדדי עם צלעות X ושורש 2 של X

למה

המשולש המשוקע מאפשר להגדיר בקלות יחס צלעות לסינוס הזוויות

בחירת שיטה

להשתמש במשפט פיתגורס

מה עושים

חשב את אורכי הצלעות בעזרת X לפי משפט פיתגורס

למה

כך ניתן לבטא את האורך של הצלעות מול הזוויות ולחשב את הסינוס

בניית משוואה

הגדרת סינוס בטא

מה עושים

סינוס בטא הוא היחס בין הצלע מול זווית בטא לאורך היתר

למה

זו הגדרה בסיסית לחישוב סינוסים במשולש ישר זווית

sin(B) = נגד / היתר

נוסחה / הצבה

sin(beta) = y / 2X() = (הצלע\ מול)/(היתר)() = (י)/(2X)

פתרון

חשב את y והסינוס של בטא

מה עושים

חשב y משורש של 8 X בריבוע, וחלק אותו ב-2X

למה

פישוט הביטוי מאפשר קבלת ערך סינוס בטא במונחים פשוטים

נוסחה / הצבה

y = שורש 8 X בריבועsin(beta) = y / 2X = שורש 2 חלקי 2

היהירות בביטוי תעזור לפשט את המורכבות.

תשובה

ערך סינוס בטא

מה עושים

קיבלנו שסינוס בטא = שורש 2 חלקי 2

למה

זהו הערך המבוקש המשמש להמשך חישובים בשאלה

פתרונות כלליים

חישוב סינוס זווית בטא בפירמידה ישרה בסיס ריבוע: סינוס בטא הוא הגבול של יחס היתר לנגד במשולש ישר-זווית. נחשב את האורך של הצלעות בעזרת X ומשפט פיתגורס ונקבל סינוס בטא = שורש של Y בריבוע פחות X בריבוע חלקי Y, כאשר Y שווה לשורש 8 בX בריבוע.
מציאת מכפלת סינוס אלפא וסינוס בטא: סין אלפא כפול סין בטא = (שורש 2 של X / Age) * (Age / 2X) = שורש 2 * X / 2X = שורש 2 חלקי 2.

הפריט הקודם הפריט הבא

א3. חזרות במרחב שאלה מבגרות

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך סינוס של הזווית בטא

פירמידה ישרה עם בסיס ריבוע

אורך צלע הבסיס: 2X

הגדרות זוויות אלפא ובטא במשולשים המשוקעים

הרעיון המרכזי

סינוס בטא הוא היחס בין הצלע מול זווית בטא לאורך היתר

נבנה משוואה

חשב y משורש של 8 X בריבוע, וחלק אותו ב-2X

פתרון מפורט

הבסיס פירמידה ריבועי

זוויות אלפא ובטא במשולש משוקע

להשתמש במשפט פיתגורס

הגדרת סינוס בטא

חשב את y והסינוס של בטא

ערך סינוס בטא

פתרונות כלליים