וידאו · אינטגרלים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א2. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א3. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א4. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א5. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א6. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
ב1. אינטגרל נפח גוף סיבוב
מציאת נקודות קיצון לפונקציה x * e^-x
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה y = x כפול e בחזקת מינוס x. מצאו את נקודות הקיצון, והגדירו תחום הגדרה.
רמז: חשב נגזרת, מצא איפה הנגזרת שווה לאפס, זיהה תחום ההגדרה ככולל את כל x.
תשובה סופית: נקודת קיצון ב-x=1; תחום ההגדרה: כל המספרים הממשיים.
הנגזרת היא y' = e^-x (1 - x). שווה לאפס כאשר 1 - x = 0 כלומר x = 1. תחום ההגדרה הוא כל x ממשי.
חישוב אינטגרל הפונקציה g'
רמת קושי: בינוני
נתונה נגזרת הפונקציה g'(x) = (1 - x) חלקי eˣ. ידוע ש-g(2) = 1. מצאו את הפונקציה g(x).
רמז: בצעו אינטגרל של נגזרת g' על פי נוסחה של פונקציה שהופקה מגזירת מנה, והשתמשו בערך הנקרא C להצבת תנאי ההתחלה.
תשובה סופית: g(x) = x * e^-x + 0.729
g(x) = אינטגרל של (1 - x)*e^-x dx = x * e^-x + C. להציב ב-x=2 ו-g(2) =1, מתקבל C = 1 - 2 * e^-2 = 0.729.
אינטגרל פונקציה ועוד חישוב קבוע
g'(x) = (1 - x) / e^xg(2) = 1לחשב אינטגרל של g'(x) על מנת למצוא את g(x), ולהציב בערך הנתון ב- x=2 כדי למצוא את הקבוע C.
g(x) = ∫ (1 - x) * e^-x dx + Cg(x) = (1 - x)/(e^x) dx = (1 - x) e^(-x) dxמציבים x=2 ו-g(2)=1 ומחשבים C
C = 1 - 2 * e^-2 ≈ 0.729האינטגרל הוא x * e^-x + C
g(x) = x * e^-x + Cg(x) = x e^(-x) + Cg(x) = x * e^-x + 0.729
g(x) = x * e^-x + 0.729השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
רשמנו את הנגזרת ואת ערך הפונקציה בנקודה נתונה.
למה
קלטים חשובים לכל חישוב אינטגרל והצבת קבוע.
הנגזרת g'(x) ידועה, וגם g(2) = 1
בחירת שיטה
מה עושים
מבינים שעלינו לחשב את האינטגרל של g'(x) כדי לקבל g(x).
למה
הפונקציה g היא האינטגרל של הנגזרת שלה.
פונקציה g היא פונקציית פרימיטיבה של g'.
בניית משוואה
מה עושים
g(x) = האינטגרל מ- (1 - x) * e^-x dx + C
למה
חישוב הנגזרת ההפוכה על פונקציה נתונה.
נוסחה כללית לאינטגרל פונקציה נתונה
נוסחה / הצבה
g(x) = ∫ (1 - x) * e^-x dx + Cg(x) = (1 - x)/(e^x) dx = (1 - x) e^(-x) dxניתן לפרק את האינטגרל לאינטגרלים פשוטים אם רוצים.
פתרון
מה עושים
האינטגרל הוא x * e^-x + C
למה
זוהי פונקציית מקור של g' לאחר אינטגרציה.
g(x) = x * e^-x + C
נוסחה / הצבה
g(x) = x * e^-x + Cg(x) = x e^(-x) + Cשימו לב שהפונקציה כוללת קבוע אינטגרציה.
פתרון
מה עושים
מציבים x=2 ו-g(2)=1 ומחשבים C
למה
כדי להתאים את הפונקציה לתנאי ההתחלה.
1 = 2 * e^-2 + C ⇒ C = 1 - 2 * e^-2 ≈ 0.729
נוסחה / הצבה
C = 1 - 2 * e^-2 ≈ 0.729יש לבצע חישוב מדויק של הערך.
תשובה
מה עושים
g(x) = x * e^-x + 0.729
למה
פונקציה המקורית שהנגזרת שלה היא g'(x) והתאמה לתנאי g(2)=1
פתרון סופי הכולל פונקציית מקור וקבוע
נוסחה / הצבה
g(x) = x * e^-x + 0.729ניתן להשאיר את התוצאה בצורת e או בעשרוני.