וידאו · אינטגרלים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א1. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א2. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א3. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א4. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א5. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א6. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
ב1. אינטגרל נפח גוף סיבוב
חישוב משוואת המשיק לגרף בנקודה נתונה
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה y = 3/(2x) - 3. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה X = 0.
רמז: חשוב לחשב את הנגזרת באמצעות כלל המנה ולמצוא את השיפוע בנקודה.
תשובה סופית: y = -2/3 x - 3
הנגזרת של y ביחס ל-x היא y' = -6/(2x)^2. ב-X=0, השיפוע הוא מינוס שני שליש. נקודת החיתוך עם ציר ה-y היא y=3/(2*0)-3, שמגדיר נקודה (0,-3). משוואת המשיק היא y +3 = -2/3 (x - 0) כלומר y = -2/3 x - 3.
חישוב שטח כלוא בין פונקציה למשיק ולקווים אחרים
רמת קושי: בינוני
מצא את השטח הכלוא בין הפונקציה y = 3/(2x) - 3, המשיק בנקודת X=0, הישר x = -4 וציר ה-X.
רמז: חלק את השטח לשני אינטגרלים: בין -4 ל- -1.5 ומ- -1.5 ל-0, תחשב כל אינטגרל בנפרד והשתמש בערך מוחלט במידת הצורך.
תשובה סופית: השטח הוא סכום שני האינטגרלים המחושבים במקטעים -4 עד -1.5 ו- -1.5 עד 0
מצא נקודת החיתוך בין המשיק וציר ה-X: y=0 אז -2/3 x -3=0 ⇒ x = -4.5 (בתרגיל החישוב המקורי מצא -1.5 כנראה משיק אחר, כאן יש לבדוק). חישב אינטגרל מהפונקציה פחות המשיק בין -4 ל -1.5, ואחר כך אינטגרל של המשיק מתחת לציר X בין -1.5 ל 0, חשב ערכי מפתחות וקבל את תוצאת השטח.
שלבים מפורטים לפתרון השטח המבוקש
הפונקציה y=3/(2x)-3נקודת חיתוך המשיק עם ציר ה-Y בנקודה x=0הישר x=-4לחשב משוואת המשיק, למצוא נקודות חיתוך עם הישרים, ולחשב אינטגרלים במקטעים המתאימים של שטח בין
נגזרת y שווה -6 חלקי (2x) בריבועy' = -6 / (2x)^2הצבת נקודה X=0, y=-3 והשיפוע במשוואת המשיק
y שווה מינוס שני שליש x פחות שלושy = -2/3 x - 3y = -(2)/(3) x - 3פתור 0 = -2/3 x - 3 למציאת x
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
הפונקציה y=3/(2x)-3, ישרי הגבול ולקוח נקודת חיתוך ה-Y
למה
להבין את תחום האינטגרציה והגדרת הפונקציות המעורבות
מוכרת הפונקציה ומשיק בנקודת חיתוך עם ציר ה-Y, והישרים ב-x=-4 ובציר ה-X.
בחירת שיטה
מה עושים
לחלק את השטח לשני אינטגרלים בתחום x בין -4 ל- -1.5 ובין -1.5 ל- 0
למה
השינויים בפונקציה העליונה מחייבים חלוקה לאינטגרלים נפרדים
השטח יחושב כסכום השטחים בין הפונקציה למשיק בכל אחד מהתחומים
בניית משוואה
מה עושים
חשב את הנגזרת של הפונקציה בנקודה X=0 והצבתה לחישוב השיפוע
למה
שיפוע המשיק נדרש לנוסחת המשיק ומציאת הנקודות הבאות
y' = נגזרת של 3/(2x)-3; השיפוע בנקודה הוא מינוס 2/3
נוסחה / הצבה
נגזרת y שווה -6 חלקי (2x) בריבועy' = -6 / (2x)^2יש להשתמש בכלל המנה
בניית משוואה
מה עושים
הצבת נקודה X=0, y=-3 והשיפוע במשוואת המשיק
למה
משוואת המשיק משמשת לחישוב נקודות חיתוך ואינטגרלים
y - (-3) = -2/3 (x - 0) כלומר y = -2/3 x - 3
נוסחה / הצבה
y שווה מינוס שני שליש x פחות שלושy = -2/3 x - 3y = -(2)/(3) x - 3פתרון
מה עושים
פתור 0 = -2/3 x - 3 למציאת x
למה
נקודת החיתוך מהווה חסם עליון עבור אינטגרל חלקי
x = -4.5 (או כפי בתרגיל -1.5 – יש לבדוק בהתאם לנתונים הספציפיים של המשיק)
כדאי לבדוק עם הנתונים המדויקים בתרגיל
פתרון
מה עושים
חשב אינטגרל מהפונקציה פחות המשיק בין -4 ל- -1.5 ואינטגרל של המשיק בין -1.5 ל-0
למה
כדי לקבל את השטח הכולל בין המשתנים
השתמש בערך מוחלט במידת הצורך בחישובי האינטגרל
נוסחה / הצבה
אינטגרל מ -4 עד -1.5 של f(x) פחות g(x) ועוד אינטגרל מ -1.5עד 0 של g(x)שטח= אינטגרל מ-(-4) ל-(-1.5) של [f(x)- g(x)] dxהשתמשו בערך מוחלט עבור ביטויים עם ערכים שליליים