MMATH
התחברות

וידאו · אינטגרלים

א3. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
וידאו

א1. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

וידאו

א2. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

וידאו

א3. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

וידאו

א4. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

וידאו

א5. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

וידאו

א6. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

וידאו

ב1. אינטגרל נפח גוף סיבוב

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בחישוב שטחים כלואים באמצעות אינטגרלים של פונקציות מעריכיות, המשווה בין פונקציית e בחזקת x לבין פונקציית הקו הישר y = e.
  • להבין כיצד לחשב שטחים כלואים בין פונקציות באמצעות אינטגרלים
  • לשחזר את תהליך רישום הגבולות של האינטגרל
  • לזהות את הפונקציה העליונה והתחתונה ולהשתמש באינטגרל של ההפרש
  • להעריך את פיתרון האינטגרל ולהבין מדוע שטחים הם חיוביים
  • הגדרת הבעיה והנתונים: מוגדרים הגרפים של הפונקציה המעריכית y = e^x והקו הישר y = e והמשימה היא למצוא את השטח הכלוא בין שני הגרפים.
  • שימוש באינטגרל להצגת השטח: מיישמים את האינטגרל של ההפרש בין הפונקציה העליונה לתת תחתונה על התחום הנתון כדי לחשב את השטח.
  • פישוט וניתוח התוצאה: מבצעים הצבה של גבולות האינטגרציה ומבינים מדוע השטח אינו שלילי למרות שהאינטגרל יכול להציג ערכים שליליים זמניים אם לא שמים לב לסדר.

תרגול קצר

חישוב שטח כלוא בין פונקציות מעריכיות וקו ישר

רמת קושי: קל

ממתין

חישבו את השטח הכלוא בין הפונקציה y = e וי = e^{2x} בתחום מ-0 עד חצי.

אינטגרלשטחים כלואיםפונקציה מעריכית

רמז: השטח הוא האינטגרל של הפונקציה העליונה פחות התחתונה מ-0 עד 0.5. חישבו את האינטגרלים בנפרד והציבו גבולות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1/2

נגדיר f(x) = e (קו ישר), g(x) = e^{2x} (פונקציה מעריכית). הגבולות הם מ-0 עד 0.5. השטח = אינטגרל מ-0 עד 0.5 של (e - e^{2x}) dx. השתמש בנוסחות: אינטגרל של e הוא e x. אינטגרל של e^{2x} הוא (1/2) e^{2x}. חישוב: = [e x] מ-0 עד 0.5 - [(1/2) e^{2x}] מ-0 עד 0.5 = e * 0.5 - e * 0 - ( (1/2) e^{2*0.5} - (1/2) e^{0} ) = (e/2) - ( (1/2) e^{1} - (1/2) ) = (e/2) - ( (1/2) e - (1/2) ) = (e/2) - (1/2)e + (1/2) = (1/2)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב שטח כלוא בין גרפים מעריכיים

אינטגרל הפרש פונקציות בין 0 ל-0.5

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא השטח הכלוא בין הגרפים בתחום הנתון

  2. נתון 1

    נתון 1

    y = e (קו ישר)
  3. נתון 2

    נתון 2

    y = e^(2x) (פונקציה מעריכית)
  4. נתון 3

    תחום x בין 0 ל-0.5

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    חשב את האינטגרל של ההפרש בין הפונקציה העליונה לפונקציה התחתונה מ-0 עד 0.5.

  6. נוסחה

    נכתוב ייצוג מתמטי

  7. משוואה

    חשוב שהאינטגרל של e הוא e*x ואינטגרל של e^{2x} הוא (1/2)e^{2x}.

    חשוב שהאינטגרל של e הוא e*x ואינטגרל של e^{2x} הוא (1/2)e^{2x}.

  8. פישוט

    חשב את האינטגרל של שתי הפונקציות בנפרד והפחית את התוצאות.

    חשב את האינטגרל של שתי הפונקציות בנפרד והפחית את התוצאות.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הפונקציה העליונה היא y = e

מה עושים

הגדרנו את הפונקציה הישרה כקו העליון של השטח.

למה

הקו הישר הוא קבוע והגבהה שלו יותר גבוהה מ-e^{2x} בטווח שנבחר.

2

זיהוי נתונים

הפונקציה התחתונה היא y = e^{2x}

מה עושים

הפונקציה המעריכית היא התחתונה בתחום ההגדרה.

למה

e^{2x} עולה מ-1 ל-e בתחומי הכלול אך נמוכה מקבוע e בטווח 0 עד 0.5.

3

בחירת שיטה

שטח כלוא הוא אינטגרל הפרש פונקציות

מה עושים

השטח הוא האינטגרל של (e - e^{2x}) לאורך התחום מ-0 עד 0.5.

למה

ההפרש בין הפונקציה העליונה לתחתונה נותן את רוחב השטח בנקודות לאורך ציר ה-x.

נוסחה / הצבה

שטח = אינטגרל מ 0 עד 0.5 של (e - e^(2x)) dxשטח = אינטגרל מ-0 עד 0.5 של (e - e^(2x)) dx
4

בניית משוואה

רשום אינטגרלים של כל פונקציה

מה עושים

חשוב שהאינטגרל של e הוא e*x ואינטגרל של e^{2x} הוא (1/2)e^{2x}.

למה

נשתמש בכלל האינטגרציה להוציא את התוצאה סופית.

5

פתרון

הצבת גבולות אינטגרציה

מה עושים

חשב את האינטגרל של שתי הפונקציות בנפרד והפחית את התוצאות.

למה

הצבה מראה את השטח הכלוא המדויק בין הגרפים.

6

תשובה

קבלת התוצאה סופית

מה עושים

השטח הכלוא שווה 0.5.

למה

זהו ערך מוסכם שהתקבל מתוך חישוב נקודתי ומדויק.

פתרונות כלליים

  • חישוב שטח כלוא בין פונקציות מעריכיות וקו ישר: נגדיר f(x) = e (קו ישר), g(x) = e^{2x} (פונקציה מעריכית). הגבולות הם מ-0 עד 0.5. השטח = אינטגרל מ-0 עד 0.5 של (e - e^{2x}) dx. השתמש בנוסחות: אינטגרל של e הוא e x. אינטגרל של e^{2x} הוא (1/2) e^{2x}. חישוב: = [e x] מ-0 עד 0.5 - [(1/2) e^{2x}] מ-0 עד 0.5 = e * 0.5 - e * 0 - ( (1/2) e^{2*0.5} - (1/2) e^{0} ) = (e/2) - ( (1/2) e^{1} - (1/2) ) = (e/2) - ( (1/2) e - (1/2) ) = (e/2) - (1/2)e + (1/2) = (1/2)
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.