וידאו · אינטגרלים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א1. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א2. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א3. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א4. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א5. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א6. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
ב1. אינטגרל נפח גוף סיבוב
גזור את הפונקציה x ln(x) - x
רמת קושי: קל
גזור את הפונקציה המאוחדת f(x) = x ln(x) - x עבור x>0.
רמז: השתמש בכלל נגזרת המכפלה עבור x ln(x) ונגזרת של x היא 1.
תשובה סופית: f'(x) = ln(x)
הנגזרת של x ln(x) היא 1*ln(x) + x*(1/x) = ln(x) + 1. הנגזרת של -x היא -1. לכן הנגזרת של הפונקציה היא ln(x) + 1 -1 = ln(x).
מצא את הפונקציה שמקיימת g'(x) = ln(x)
רמת קושי: בינוני
ידוע ש-g'(x) = ln(x). אם g(1) = 2, מצא את הפונקציה g(x).
רמז: אינטגרל של ln(x) הוא x ln(x) - x + c. השתמש בתנאי ההתחלה למציאת c.
תשובה סופית: g(x) = x ln(x) - x + 3
g(x) = ∫ ln(x) dx = x ln(x) - x + c. מציבים x=1: g(1)=1*0 -1 + c= c -1=2 ⇒ c=3.
פתרון אינטגרלי ln(x) עם תנאי התחלה
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה g ש-g' (x) = ln(x) ו-g(e) = 2. מצא את g(x).
רמז: אינטגרל של ln(x) הוא x ln(x) מינוס x ועוד קבוע. מצא את הקבוע עם הנתון g(e)=2.
תשובה סופית: g(x) = x ln(x) - x + 2
g(x) = x ln(x) - x + c. נציב x=e: g(e) = e*1 - e + c = e - e + c = c. מכיוון ש-g(e)=2, c=2.
פתרון תרגיל גזירת פונקציה ואינטגרציה של ln(x)
f(x) = x ln(x) - xg'(x) = ln(x)g(e) = 2גזור תחילה את f(x) באמצעות כלל המכפלה, לאחר מכן השתמש באינטגרל של ln(x) ושימוש בתנאי ההתחלה.
נגזרת של x ln(x) שווה ln(x) ועוד 1(x ln(x))' = 1 * ln(x) + x * (1/x)(x (x))' = 1 * (x) + x * (1)/(x)מציבים את הנתונים במשוואה.
לזהות את הפונקציה ואת דרישת הגזירה והאינטגרציה
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
לזהות את הפונקציה ואת דרישת הגזירה והאינטגרציה
למה
הבנת הנתונים היא הבסיס לפתרון הבעיה
פונקציה f(x) = x ln(x) - x, דרושה נגזרת וגם חישוב פונקציה g עם נגזרת ln(x).
בחירת שיטה
מה עושים
להשתמש בכלל נגזרת המכפלה עבור x ln(x) ולבצע אינטגרל של ln(x)
למה
הגזירה של מכפלה דורשת שימוש בכלל מיוחד, והאינטגרל מבוסס על נוסחה מוכרת
הגנרציה מצטברת משני החלקים, והאינטגרל של ln(x) ידוע בדרך כלל.
בניית משוואה
מה עושים
נכתוב: (x ln(x))' = ln(x) + 1
למה
להביא לפשטות הנגזרת של החלק הראשון בפונקציה
נגזרת של מכפלה היא נגזרת של האיבר הראשון כפול השני ועוד האיבר הראשון כפול נגזרת השני
נוסחה / הצבה
נגזרת של x ln(x) שווה ln(x) ועוד 1(x ln(x))' = 1 * ln(x) + x * (1/x)(x (x))' = 1 * (x) + x * (1)/(x)הזהר מהנגזרת של ln(x) היא 1 חלקי x
פתרון
מה עושים
הנגזרת היא ln(x) + 1 מינוס 1, כלומר ln(x)
למה
חיבור וחיסור של מספרים זהים מפשט את התוצאה
f'(x) = ln(x) + 1 - 1 = ln(x)
נוסחה / הצבה
f'(x) = ln(x)פתרון
מה עושים
g(x) = אינטגרל של ln(x) dx = x ln(x) - x + c
למה
נוסחה מוכרת של אינטגרל ln(x)
השגת הביטוי הכללי לפונקציה g לפי האינטגרל שלה
נוסחה / הצבה
g(x) = x ln(x) - x + cהקבע את c בעזרת תנאי התחלה
פתרון
מה עושים
נציב g(e) = 2: e ln(e) - e + c = 2 ⇒ e - e + c = 2 ⇒ c = 2
למה
על מנת שהפונקציה תתאים לנתון המבוקש
מציאת הקבוע בקירוב עם נקודת ההתחלה