וידאו · תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון
ב8. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור דן בהבנת תחום ההגדרה של פונקציות והשפעתו על גרף הפונקציה במערכת הצירים, תוך התמקדות בחיתוכים עם הצירים, התנאים על ערכי x ו-y והשאיפות של הפונקציה.
- להבין את משמעות תחום ההגדרה בפונקציה
- לזהות את תחום ההגדרה על מערכת הצירים
- להבין מהי שאיפה של פונקציה
- לזהות חיתוכים עם הצירים ולהבין מתי הם מתרחשים
- תחום ההגדרה ותנאים על המשתנה העצמאי: נסביר מהו תחום ההגדרה, ונבחן מקרים בהם ערכי x אינם מותרים, לדוגמה x > 0 בלבד, וחשיבות אי-ערך אפס.
- חיתוכים עם צירי x ו-y: נבחן מתי פונקציה חותכת את ציר ה-x ומתי את ציר ה-y, ונבהיר טעויות נפוצות בנוגע לכך.
- שאיפות של פונקציה וערכים מיוחדים: נבין את משמעות השאיפה של הפונקציה לערכים מסוימים, ואת השימוש בערכי e ואילך.
תרגול קצר
תחום ההגדרה של פונקציה עם ln(x)
רמת קושי: קל
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = ln(x - 2).
רמז: הבעי את התנאי שבו x - 2 גדול מאפס.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: x > 2
כדי שהפונקציה מוגדרת, חייב להתקיים x - 2 > 0. לכן תחום ההגדרה הוא כל x > 2.
חיתוך עם ציר y לפונקציה מעריכית
רמת קושי: בינוני
נתונה הפונקציה f(x) = e^x, חשב את ערך הפונקציה כאשר x=0 ומצא את נקודת החיתוך עם ציר y.
רמז: הציב x=0 בפונקציה וחשב את f(0).
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודת חיתוך עם ציר y היא (0,1)
f(0) = e^0 = 1. לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא (0,1).
בחינת שאיפות של פונקציה מעריכית
רמת קושי: מאתגר
נתונה הפונקציה g(x) = 1/(e^x). מצא לאיזה ערך הפונקציה שואפת כאשר x שואף לאינסוף.
רמז: חשוב כיצד e^x מתנהג כש-x שואף לאינסוף.
פתרון מלא
תשובה סופית: הפונקציה שואפת ל-0 כאשר x שואף לאינסוף
כאשר x שואף לאינסוף, e^x שואף לאינסוף, לכן 1/(e^x) שואף לאפס.
בחינת תחום הגדרה וחיתוך עם צירים
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה h(x) = ln(x^2 - 1). מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה וחשב את h(1).
רמז: חשוב מתי הביטוי בתוך הלוגריתם גדול מאפס ואיזו משמעות זה ל-h(1).
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: x < -1 או x > 1; h(1) לא מוגדרת
הפונקציה מוגדרת כאשר x^2 - 1 > 0, כלומר x > 1 או x < -1. עבור x=1, x^2 -1 =0 ולכן h(1) אינה מוגדרת.
דרך הפתרון
פתרון: מציאת תחום ההגדרה של פונקציה עם לוגריתם
דוגמה לתרגיל בסיסי
מפת פתרון
- מטרה
למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה
- נתון 1
נתון 1
הפונקציה f(x) = ln(x - 2) - רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא את הערכים של x שהופכים את מה שבלוגריתם לחיובי.
- נוסחה
נחבר 2 לשני אגפי האי-שוויון.
x - 2 > 0 - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
תחום ההגדרה הוא כל x הגדול מ-2.
תחום ההגדרה הוא כל x הגדול מ-2.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
פונקציה ln(x - 2) מוגדרת עבור x > 2 בלבד.
- בדיקה
בדיקה קצרה
- הבנת משמעות תחום ההגדרה
- ניסוח ופתרון אי-שוויון פשוט
- זהירות: לא לשים לב ש-x חייב להיות גדול מ-2 ולא גדול או שווה
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציה נתונה
זיהוי נתונים
הפונקציה נתונה
מה עושים
הפונקציה היא ln(x - 2).
למה
על מנת למצוא את תחום ההגדרה, חשוב להבין את התנאים על הביטוי בתוך הלוגריתם.
הפונקציה מוגדרת רק כאשר x - 2 > 0.
2בחירת שיטה
תנאי על הביטוי בתוך הלוגריתם
בחירת שיטה
תנאי על הביטוי בתוך הלוגריתם
מה עושים
נגדיר תנאי מתמטי עבור x - 2 > 0.
למה
הלוגריתם הטבעי מוגדר רק לערכים חיוביים.
נדרוש ש-x פחות 2 גדול מאפס להמשך החישוב.
3בניית משוואה
נפתח את התנאי
בניית משוואה
נפתח את התנאי
מה עושים
נחבר 2 לשני אגפי האי-שוויון.
למה
כדי למצוא את תחום ההגדרה במונחי x.
x - 2 > 0 הוא שקול ל-x > 2.
נוסחה / הצבה
x - 2 > 04פתרון
נקבע תחום ההגדרה
פתרון
נקבע תחום ההגדרה
מה עושים
תחום ההגדרה הוא כל x הגדול מ-2.
למה
זהו קבוצה הערכים להם הפונקציה מוגדרת והלוגריתם תקין.
תחום ההגדרה: x > 2.
5תשובה
תחום ההגדרה הסופי
תשובה
תחום ההגדרה הסופי
מה עושים
פונקציה ln(x - 2) מוגדרת עבור x > 2 בלבד.
למה
כל ערך קטן או שווה ל-2 יגרום לפונקציה להיות לא מוגדרת.
תחום ההגדרה: x > 2.
פתרונות כלליים
- תחום ההגדרה של פונקציה עם ln(x): כדי שהפונקציה מוגדרת, חייב להתקיים x - 2 > 0. לכן תחום ההגדרה הוא כל x > 2.
- חיתוך עם ציר y לפונקציה מעריכית: f(0) = e^0 = 1. לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא (0,1).
- בחינת שאיפות של פונקציה מעריכית: כאשר x שואף לאינסוף, e^x שואף לאינסוף, לכן 1/(e^x) שואף לאפס.
- בחינת תחום הגדרה וחיתוך עם צירים: הפונקציה מוגדרת כאשר x^2 - 1 > 0, כלומר x > 1 או x < -1. עבור x=1, x^2 -1 =0 ולכן h(1) אינה מוגדרת.