בלימוד זה בוחנים סדרת נסיגה עם כלל רקורסיבי, מחשבים איברים ראשונים, מזהים תתי סדרות חשבוניות לפי אינדקס זוגי ואי זוגי, ומוכיחים תכונה של הפרש קבוע בין איברים במרווחים של 2.
להבין ולהשתמש בכלל רקורסיבי בסדרות.
לחשב איברים ראשונים בסדרה נתונה.
לזהות תתי סדרות חשבוניות בתוך סדרה כללית.
להוכיח תכונות של הפרש קבוע בין איברים במרווח קבוע.
לחלק סדרה מורכבת לתת סדרות לטובת ניתוח ופתרון.
להימנע מטעויות נפוצות בחישובי סדרות ובשימוש בנוסחאות.
חישוב האיברים הראשונים: חישוב שישה האיברים הראשונים בסדרה באמצעות כלל רקורסיבי נתון.
זיהוי תתי סדרות חשבוניות: הסדרה כללית מפורקת לשתי תת סדרות: במקומות אי זוגיים ובמקומות זוגיים, שכל אחת מהן היא סדרה חשבונית עם הפרש 6.
הוכחת תכונת ההפרש הקבוע בין איברי n+2 ל-n: מטרה להראות כי הפרש בין a(n+2) ל-a(n) הוא 6, מה שמחזק את ההתנהגות החשבונית של תתי הסדרות.

תרגול קצר

חישוב ששת האיברים הראשונים בסדרה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הסדרה לפי הכלל $a_{n+1} = 6n - a_n + 3$ וידוע כי $a_3=4$. חשב את ששת האיברים הראשונים $a_1$ עד $a_6$.

רקורסיהסדרותחישוב איברים

רמז: השתמש בהצבה אחורה החל מ-$a_3=4$ למציאת $a_2$, לאחר מכן $a_1$, ואז $a_4$, $a_5$, ו-$a_6$.

פתרון מלא

תשובה סופית: a1 = -2, a2 = 11, a3 = 4, a4 = 17, a5 = 10, a6 = 23

לפי הנתון, $a_3=6 imes 2 - a_2 + 3 = 15 - a_2$. לכן, $4=15 - a_2$ וכלומר $a_2=11$. כעת, $a_2=6 imes 1 - a_1 + 3 = 9 - a_1$, ולכן $11=9 - a_1$ ו-$a_1=-2$. $a_4=6 imes 3 - a_3 + 3=18 - 4 +3=17$. $a_5=6 imes 4 - a_4 + 3=24 - 17 + 3=10$. $a_6=6 imes 5 - a_5 +3=30 -10 + 3=23$.

הוכחת תכונת הפרש 6 בין a(n+2) ו-a(n)

רמת קושי: בינוני

ממתין

הוכח כי ההפרש בין $a_{n+2}$ ל-$a_n$ הוא 6 בהתאם להגדרה $a_{n+1} = 6n - a_n + 3$.

הוכחההפרשסדרות

רמז: הצג את $a_{n+2}$ על ידי הצבה של $n+1$ בנוסחא, חשב הפרש $a_{n+2} - a_n$ ופשט.

פתרון מלא

תשובה סופית: a_{n+2} - a_n = 6

נכתוב: $a_{n+2} = 6(n+1) - a_{n+1} + 3 = 6n + 6 - a_{n+1} + 3$. עכשיו נחשב את $d = a_{n+2} - a_n = 6n + 6 - a_{n+1} + 3 - a_n$. לדעת מהו $a_{n+1}$, נכתוב $a_{n+1} = 6n - a_n + 3$. נציב ונקבל $d = 6n + 6 + 3 - (6n - a_n + 3) - a_n = 6n + 9 - 6n + a_n - 3 - a_n = 6$. כלומר, ההפרש הקבוע הוא 6.

חישוב איבר $A_{30}$ ו-$A_{49}$ בסדרה

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הסדרה $a_n$ עם כללי הסדרה כפי שבתרגיל. ידוע ש-$a_1=-2$, $d=6$ ותתי הסדרות במקומות זוגיים ואי זוגיים הן חשבוניות עם הפרש 6. מצא את האיברים $A_{30}$ ו-$A_{49}$.

סדרותסדרה חשבוניתאינדקסים

רמז: $A_{30}$ הוא האיבר ה-15 ב-$a_{2k}$, ו-$A_{49}$ הוא האיבר ה-25 ב-$a_{2k-1}$. השתמש בנוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית.

פתרון מלא

תשובה סופית: A30=95, A49=142

ראשית, $A_{30}$ הוא האיבר ה-15 בתת-הסדרה הזוגית, שהאיבר הראשון שלה הוא $a_2=11$ וההפרש $6$. אז $A_{30} = a_2 + (15 - 1) imes 6 = 11 + 14 imes 6 = 11 + 84 = 95$. ל-$A_{49}$ שהוא האיבר ה-25 בתת-הסדרה האי זוגית שבה $a_1=-2$ עם $d=6$, $A_{49} = a_1 + (25 -1) imes 6 = -2 + 24 imes 6 = -2 + 144 = 142$.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מדריך לפתרון חישוב ששת האיברים הראשונים בסדרה

חישוב איברים לפי כלל רקורסיבי עם נתון $a_3=4$

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא חשב את האיברים $a_1, a_2, a_4, a_5, a_6$
נתון 1
נתון 1
הנוסחה $a_n+1 = 6n - a_n + 3$
נתון 2
נתון 2
האיבר השלישי $a_3 = 4$
רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בחישוב לאחור מהאיבר $a_3$ כדי למצוא $a_2$ ואחר-כך $a_1$, ומשם המשך קדימה כדי לחשב את שאר
נוסחה
מתחילים מנוסחה רקורסיבית ונתון $a_3$
a3 = 6 * 2 - a2 + 3a_3 = 6 x 2 - a_2 + 3a_3 = 6 * 2 - a_2 + 3
משוואה
נבודד את $a_2$ מהמשוואה
נבודד את $a_2$ מהמשוואה
4 = 12 - a2 + 34 = 12 - a_2 + 3
פישוט
השתמש בכלל עם n=1 וערך $a_2=11$
השתמש בכלל עם n=1 וערך $a_2=11$
a2 = 6 * 1 - a1 + 3a_2 = 6 x 1 - a_1 + 3
תוצאה
מסיימים בתשובה
השתמש בנוסחה עם $n=5$ ו-$a_5=10$
a6 = 6 * 5 - a5 + 3a_6 = 6 x 5 - a_5 + 3

a6 = 6 * 5 - a5 + 3a_6 = 6 x 5 - a_5 + 3a_6 = 6 * 5 - a_5 + 3

בדוק כל שלב כדי לוודא שהחישוב נכון

פתרונות כלליים

חישוב ששת האיברים הראשונים בסדרה: לפי הנתון, $a_3=6 imes 2 - a_2 + 3 = 15 - a_2$. לכן, $4=15 - a_2$ וכלומר $a_2=11$. כעת, $a_2=6 imes 1 - a_1 + 3 = 9 - a_1$, ולכן $11=9 - a_1$ ו-$a_1=-2$. $a_4=6 imes 3 - a_3 + 3=18 - 4 +3=17$. $a_5=6 imes 4 - a_4 + 3=24 - 17 + 3=10$. $a_6=6 imes 5 - a_5 +3=30 -10 + 3=23$.
הוכחת תכונת הפרש 6 בין a(n+2) ו-a(n): נכתוב: $a_{n+2} = 6(n+1) - a_{n+1} + 3 = 6n + 6 - a_{n+1} + 3$. עכשיו נחשב את $d = a_{n+2} - a_n = 6n + 6 - a_{n+1} + 3 - a_n$. לדעת מהו $a_{n+1}$, נכתוב $a_{n+1} = 6n - a_n + 3$. נציב ונקבל $d = 6n + 6 + 3 - (6n - a_n + 3) - a_n = 6n + 9 - 6n + a_n - 3 - a_n = 6$. כלומר, ההפרש הקבוע הוא 6.
חישוב איבר $A_{30}$ ו-$A_{49}$ בסדרה: ראשית, $A_{30}$ הוא האיבר ה-15 בתת-הסדרה הזוגית, שהאיבר הראשון שלה הוא $a_2=11$ וההפרש $6$. אז $A_{30} = a_2 + (15 - 1) imes 6 = 11 + 14 imes 6 = 11 + 84 = 95$. ל-$A_{49}$ שהוא האיבר ה-25 בתת-הסדרה האי זוגית שבה $a_1=-2$ עם $d=6$, $A_{49} = a_1 + (25 -1) imes 6 = -2 + 24 imes 6 = -2 + 144 = 142$.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג10. סדרת נסיגה

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא חשב את האיברים $a_1, a_2, a_4, a_5, a_6$

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

מתחילים מנוסחה רקורסיבית ונתון $a_3$

נבודד את $a_2$ מהמשוואה

השתמש בכלל עם n=1 וערך $a_2=11$

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתון $a_3 = 4$

חשב את $a_2$

חשב את $a_1$

חשב את $a_4$

חשב את $a_5$

חשב את $a_6$

פתרונות כלליים