וידאו · סדרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ד1. שאלות שונות בסדרות
ד2. שאלות שונות בסדרות
ד3. שאלות שונות בסדרות
ד4. שאלות שונות בסדרות
ד5. שאלות שונות בסדרות
ד6. שאלות שונות בסדרות
ד7. שאלות שונות בסדרות
ד8. שאלות שונות בסדרות
ד9. שאלות שונות בסדרות
חישוב יחס סכומים בסדרה הנדסית אינסופית יורדת
רמת קושי: קל
יש סדרה הנדסית אינסופית יורדת שהמקדם Q שלה בין 0 ל-1. ס במרוכז הלכה, סכום כל האיברים בסדרה גדול פי K מסכום האיברים במקומות הזוגיים. חשבו את היחס K.
רמז: השתמשו בנוסחה לסכום סדרה הנדסית אינסופית a1 חלקי 1 מינוס Q ותמצאו סכום של האיברים במקומות הזוגיים כעוד סדרה הנדסית.
תשובה סופית: K = (1 + Q) / Q ו-Q = 1 / (K - 1)
נסמן a1 כאיבר ראשון, Q כיחס ההתקדמות. סכום הסדרה הוא a1/(1-Q). הסכום של האיברים הזוגיים הוא a1 Q / (1-Q^2). היחס K הוא סכום כל האיברים חלקי סכום האיברים הזוגיים = (a1/(1-Q)) / (a1 Q/(1-Q^2)) = (1+Q)/Q. פתרו למשוואה 1+Q = Q K כדי לקבל את Q ביחס ל-K: Q = 1/(K-1).
איך למצוא את יחס K בין סכום כל האיברים לסכום האיברים הזוגיים
לחשב סכום כל הסדרה וסכום תת-הסדרה של האיברים הזוגיים באמצעות נוסחאות הסכום ולהעמיד יחס ביניהן
S_even = a1 * Q / (1 - Q^2)S_even = a1 Q / (1 - Q^2)S_even = (a_1 Q)/(1 - Q^2)קבע K = S / S_even והפשט את הביטוי
K = (1 + Q) / QK = (1 + Q)/(Q)מכפיל ב-Q ומעביר אגפים כדי לקבל Q = 1 / (K - 1)
1 + Q = Q * KQ = 1 / (K - 1)רשום את a1, Q, ו-K כפי שמוגדר בשאלה
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
רשום את a1, Q, ו-K כפי שמוגדר בשאלה
למה
לזהות את כל הפרטים הראשוניים הדרושים לפתרון
יש לנו סדרה הנדסית אינסופית יורדת עם מקדם Q בין 0 ל-1, K הוא היחס המבוקש בין סכומי תתי-סדרות
בחירת שיטה
מה עושים
השתמש בנוסחה S = a1/(1 - Q)
למה
סכום אינסופי של סדרה הנדסית שמתכנסת ניתן לחשב כך
חושב סכום סדרת האיברים הכוללת
נוסחה / הצבה
S = a1 / (1 - Q)S = (a_1)/(1 - Q)בחירת שיטה
מה עושים
סכום הסדרה במקומות זוגיים הוא a1 Q / (1 - Q^2)
למה
האיברים הזוגיים מהווים סדרה הנדסית חדשה עם איבר ראשון a1 Q ומקדם Q^2
מחשבים סכום תת-הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים
נוסחה / הצבה
S_even = a1 * Q / (1 - Q^2)S_even = a1 Q / (1 - Q^2)S_even = (a_1 Q)/(1 - Q^2)בניית משוואה
מה עושים
קבע K = S / S_even והפשט את הביטוי
למה
למצוא קשר בין K ל-Q בעזרת יחס הסכומים
מחשבים את היחס K לפי סכומים שמצאנו
נוסחה / הצבה
K = (1 + Q) / QK = (1 + Q)/(Q)פתרון
מה עושים
מכפיל ב-Q ומעביר אגפים כדי לקבל Q = 1 / (K - 1)
למה
להביע את Q באופן בלעדי על פי K
מבודדים את Q ונמצאים ביטוי מפורש שלו ביחס ל-K
נוסחה / הצבה
1 + Q = Q * KQ = 1 / (K - 1)1 + Q = Q K => Q = 1 / (K - 1)1 + Q = Q K => Q = (1)/(K - 1)