וידאו · סדרות
ד8. שאלות שונות בסדרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור שבו מסביר המורה כיצד למצוא איבר כללי לסדרה מיוחדת שאינה חשבונית ואינה הנדסית, תוך הצגת שתי גישות עיקריות. הגישה הראשונה מבוססת על פירוק הערכים למרכיבים בהתבסס על סכום סדרה הנדסית.
- להבין כיצד לפרק מספרים בסדרה למרכיבים הנדסיים
- לגבש איבר כללי לסדרה שאינה חשבונית ואינה הנדסית
- להכיר שיטות שונות למציאת איבר כללי בסדרה
- הצגת הסדרה: הסדרה מורכבת ממספרים שכל פעם מתווסף חלק בעל מערכת יחסים של עשר בחזקות שונות, לדוגמה 3, 33, 333, 3333 וכדומה.
- גישה ראשונה למציאת איבר כללי: פירוק המספר לשברים הנדסיים והבנת סך הסדרה כסכום של סדרה הנדסית.
תרגול קצר
מציאת איבר כללי בסדרה מיוחדת
רמת קושי: קל
נתונה הסדרה 3, 33, 333, 3333,... מצא את האיבר הכללי a_n של הסדרה.
רמז: המספר בנוי כסכום של 3 כפול חזקות של 10 בהצטברות.
פתרון מלא
תשובה סופית: a_n = 3 * (10^n - 1) / 9
נסמן את האיבר ה-n בסדרה על ידי סכום של סדרה הנדסית ממספרים המורכבים מ-3 כפול חזקה של 10. כל איבר הוא סכום של 3*10^0 + 3*10^1 + ... + 3*10^(n-1). הסכום הוא 3 * (10^n - 1) / (10 - 1). כלומר, a_n = 3 * (10^n - 1)/9.
דרך הפתרון
מציאת האיבר הכללי בסדרה 3, 33, 333,...
פירוק מספרים לסכום סדרה הנדסית
מפת פתרון
- מטרה
למצוא האיבר הכללי a_n של הסדרה
- נתון 1
סדרה: 3, 33, 333, 3333,...
- רעיון
הרעיון המרכזי
לפרק כל איבר כסכום של סדרה הנדסית עם בסיס 10 ולהשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית.
- נוסחה
לחשב את סכום הסדרה ההנדסית עם a=1, r=10
a_n = 3 * (1 - 10^n) / (1 - 10)a_n = 3 x (1 - 10^n)/(1 - 10) - משוואה
לכתוב את סכום האיבר ה-n כסכום של 3 במספר חזקות של 10
לכתוב את סכום האיבר ה-n כסכום של 3 במספר חזקות של 10
- פישוט
לחשב את הביטוי ולפשט את הנוסחה
לחשב את הביטוי ולפשט את הנוסחה
a_n = 3 * (10^n - 1) / 9a_n = (3(10^n - 1))/(9) - תוצאה
מסיימים בתשובה
ניסוח הנוסחה הסופית
- בדיקה
בדיקה קצרה
- זהה את הדפוס החזקתי בסדרה
- הבין כי מדובר בסכום סדרה הנדסית
- זהירות: לבלבל בין הסדרה לסדרות חשבוניות או הנדסיות רגילות
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הסדרה 3, 33, 333,...
זיהוי נתונים
הסדרה 3, 33, 333,...
מה עושים
הבנת מבנה הסדרה והצגת האיברים הראשונים
למה
להכין את הקרקע למציאת נוסחה כללית.
כל איבר מורכב מחזרה של הספרה 3 בסדרי גודל עשרוניים.
2בחירת שיטה
פירוק האיבר כסכום סדרה הנדסית
בחירת שיטה
פירוק האיבר כסכום סדרה הנדסית
מה עושים
לייצג כל איבר כסכום 3 כפול חזקות של 10
למה
כל איבר הוא סכום של מספרים במשקל חזקות 10.
למשל 333 = 3*10^2 + 3*10^1 + 3*10^0.
3בניית משוואה
כתיבת הסכום של הסדרה ההנדסית
בניית משוואה
כתיבת הסכום של הסדרה ההנדסית
מה עושים
לכתוב את סכום האיבר ה-n כסכום של 3 במספר חזקות של 10
למה
לפי הגדרת איברי הסדרה.
a_n = 3*10^0 + 3*10^1 + ... + 3*10^{n-1}.
4בניית משוואה
השתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית
בניית משוואה
השתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית
מה עושים
לחשב את סכום הסדרה ההנדסית עם a=1, r=10
למה
נוסחה זו מפשטת את החישוב לסכום סגור.
הנוסחה: S = a * (1 - r^n) / (1 - r) עם a=1, r=10
נוסחה / הצבה
a_n = 3 * (1 - 10^n) / (1 - 10)a_n = 3 x (1 - 10^n)/(1 - 10)כיוון ש-1-10 = -9, יש להפוך סימנים.
5פתרון
פישוט ביטוי הסכום
פתרון
פישוט ביטוי הסכום
מה עושים
לחשב את הביטוי ולפשט את הנוסחה
למה
להפוך את הביטוי לפשוט ונוח לשימוש
a_n = 3 * (10^n - 1) / 9
נוסחה / הצבה
a_n = 3 * (10^n - 1) / 9a_n = (3(10^n - 1))/(9)הפוך סימנים על מנת להשיג ביטוי עם חזקת 10 חיובית.
6תשובה
הנוסחה הסופית לאיבר הכללי
תשובה
הנוסחה הסופית לאיבר הכללי
מה עושים
ניסוח הנוסחה הסופית
למה
כדי לדעת כיצד לחשב כל איבר בסדרה
a_n = 3 * (10^n - 1) / 9
פתרונות כלליים
- מציאת איבר כללי בסדרה מיוחדת: נסמן את האיבר ה-n בסדרה על ידי סכום של סדרה הנדסית ממספרים המורכבים מ-3 כפול חזקה של 10. כל איבר הוא סכום של 3*10^0 + 3*10^1 + ... + 3*10^(n-1). הסכום הוא 3 * (10^n - 1) / (10 - 1). כלומר, a_n = 3 * (10^n - 1)/9.