וידאו · בעיות תנועה
א1. בעיות תנועה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור בנושא בעיות תנועה הכולל פתרון בעיית רוכב אופניים הנוסע בין תל אביב לחיפה במהירות קבועה ולוח הזמנים בהלוך ובחזור עם מנוחה והאצת מהירות.
- לנתח בעיות תנועה הכוללות נסיעה במהירויות משתנות
- להגדיר משתנים לבעיות תנועה ולהרכיב משוואות
- לפתור משוואות ריבועיות הנובעות מהקשר זמן, דרך ומהירות
- לבצע בדיקת בקרה לפתרונות אלגבריים באמצעות הצבה והערכת תוצאות
- הצגת הבעיה וסקיצה: הצגת מצב בו רוכב אופניים נוסע מתל אביב לחיפה ובחזרה עם מנוחה והאצת מהירות בחלק מהדרך.
- בניית טבלה וייצוג הנתונים: חלוקה לזמנים ומהירויות בהלוך ובחזור והגדרת המשתנים למשוואות.
- הקמת משוואת הזמן ושוויון הזמנים: הרכבת משוואה מתמטית לפי סכום הזמנים בחזור השווה לזמן הלוך.
- פתרון המשוואה והערכת התשובה: פיתרון המשוואה הריבועית וקבלת התוצאה של V, בדיקת נכונות התוצאה באמצעות הצבה.
תרגול קצר
חישוב מהירות קבועה
רמת קושי: קל
רוכב אופניים נוסע 100 קילומטר במהירות קבועה V. כמה זמן יידרש לנסיעה?
רמז: השתמש בנוסחה: זמן = דרך חלקי מהירות
פתרון מלא
תשובה סופית: 100/V
זמן = 100 חלקי V
זמן נסיעה הלוך
רמת קושי: בינוני
רוכב אופניים נוסע מתל אביב לחיפה 100 קילומטר במהירות V. כמה זמן לקח לנסיעה?
רמז: זמן = דרך חלקי מהירות
פתרון מלא
תשובה סופית: 100/V
100 / V
זמן נסיעה חזור ללא עצירות
רמת קושי: בינוני
הרוכב נוסע שעתיים במהירות V בדרך חזרה. כמה דרך עשה?
רמז: דרך = מהירות × זמן
פתרון מלא
תשובה סופית: 2V
דרך = V × 2
פתרון משוואת זמן שווה בערך V
רמת קושי: מאתגר
פתור את המשוואה 100/V = 2 + 1/3 + (100-2V)/(V+5) למציאת V
רמז: הכפל את שני אגפי המשוואה במכנה המשותף כדי להיפטר משברים
פתרון מלא
תשובה סופית: V = 25 קמ"ש
המשוואה מפושטת ל- 7/3 V (V+5) = 300(V+5) + 300V - 7V^2 - 35V ומכאן נפתרה המשוואה
בעיית נסיעה בתל אביב-חיפה
רמת קושי: בגרות
רוכב אופניים נוסע 100 קילומטר מתל אביב לחיפה במהירות קבועה V. בדרכו חזרה נוסע שעתיים במהירות זו, נח 20 דקות, ואז נוסע במהירות V + 5. זמן ההלוך שווה לזמן החזור. מצא את המהירות V.
רמז: נסמן את המהירות בהלוך ב-V ונבנה משוואה לשוויון הזמנים, כולל המנוחה והחלק המהיר בחזרה.
פתרון מלא
תשובה סופית: 25
בונים משוואה: 100/V = 2 + 1/3 + (100 - 2V)/(V + 5) מכפילים במכנה משותף ומפשטים מגיעים למשוואה ריבועית ופותרים התוצאה ההגיונית היא V = 25 קמ"ש
דרך הפתרון
פתרון בעיית נסיעה בין תל אביב לחיפה
חישוב מהירות ושלבי פתרון משוואת זמן שווה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא מהירות הנסיעה הקבועה V
- נתון 1
מרחק תל אביב-חיפה: 100 קילומטר
- נתון 2
מהירות הלוך: V (ללא ערך מספרי ידוע)
- נתון 3
בחזור: שעתיים במהירות V
- רעיון
הרעיון המרכזי
נכין ביטוי לזמן הנסיעה בהלוך ובחזור, ונשווה ביניהם כדי למצוא את V.
- נוסחה
זמן הלוך = 100 חלקי V
t הלוך = 100 / Vt_הלוך = (100)/(V) - משוואה
זמן חזור = 2 + 1/3 + (100 - 2V) חלקי (V+5)
זמן חזור = 2 + 1/3 + (100 - 2V) חלקי (V+5)
t חזור = 2 + 1/3 + (100 - 2V) / (V + 5)t_חזור = 2 + (1)/(3) + (100 - 2V)/(V + 5) - פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת הנתונים
זיהוי נתונים
הגדרת הנתונים
מה עושים
מרחק הלוך הוא 100 קילומטר, במהירות V
למה
המשתנה V מהירות הנסיעה הוא הנדרש.
מרחק תל אביב-חיפה באורך 100 קילומטר, ומהירות לא ידועה V.
2זיהוי נתונים
שלבי הנסיעה בחזור
זיהוי נתונים
שלבי הנסיעה בחזור
מה עושים
בחזור נוסע 2 שעות במהירות V, נח 20 דקות, ואז נוסע במהירות V+5
למה
כדי לפרק את זמן הנסיעה הכולל בחזרה לשלבים מובחנים
בחזור הזמן כולל נסיעה של 2 שעות במהירות V, מנוחה (0 מהירות), ונסיעה במהירות מוגברת V+5
3בחירת שיטה
קשר בין זמן דרך ומהירות
בחירת שיטה
קשר בין זמן דרך ומהירות
מה עושים
זמן = דרך חלקי מהירות
למה
נשתמש בנוסחה זו להבעת זמני הנסיעה
הבנת יחס זמן לדרך ומהירות בכל חלק של המסלול
נוסחה / הצבה
t = d / vזמן = דרך / מהירותt = (d)/(v)4בניית משוואה
כתיבת זמני הנסיעה בהלוך
בניית משוואה
כתיבת זמני הנסיעה בהלוך
מה עושים
זמן הלוך = 100 חלקי V
למה
בא לידי ביטוי זמן הנסיעה בהלוך במהירות V
t הלוך = 100 / V
נוסחה / הצבה
t הלוך = 100 / Vt_הלוך = (100)/(V)5בניית משוואה
כתיבת זמני הנסיעה בחזור
בניית משוואה
כתיבת זמני הנסיעה בחזור
מה עושים
זמן חזור = 2 + 1/3 + (100 - 2V) חלקי (V+5)
למה
הזמן הכולל הוא סכום זמני החלקים בחזרה
בשעות: נסיעה של 2 שעות במהירות V (2 שעות), מנוחה של 1/3 שעה, ונסיעה בשאר הדרך במהירות V+5
נוסחה / הצבה
t חזור = 2 + 1/3 + (100 - 2V) / (V + 5)t_חזור = 2 + (1)/(3) + (100 - 2V)/(V + 5)6בניית משוואה
שוויון זמני הנסיעה
בניית משוואה
שוויון זמני הנסיעה
מה עושים
100 חלקי V שווה ל- 2 + 1/3 + (100 - 2V)/(V+5)
למה
הזמן בהלוך שווה לזמן בחזור, נבנה משוואה שמייצגת זאת
100/V = 2 + 1/3 + (100 - 2V)/(V + 5)
נוסחה / הצבה
100 / V = 2 + 1/3 + (100 - 2V) / (V + 5)(100)/(V) = 2 + (1)/(3) + (100 - 2V)/(V + 5)פתרונות כלליים
- חישוב מהירות קבועה: זמן = 100 חלקי V
- זמן נסיעה הלוך: 100 / V
- זמן נסיעה חזור ללא עצירות: דרך = V × 2
- פתרון משוואת זמן שווה בערך V: המשוואה מפושטת ל- 7/3 V (V+5) = 300(V+5) + 300V - 7V^2 - 35V ומכאן נפתרה המשוואה
- בעיית נסיעה בתל אביב-חיפה: בונים משוואה: 100/V = 2 + 1/3 + (100 - 2V)/(V + 5) מכפילים במכנה משותף ומפשטים מגיעים למשוואה ריבועית ופותרים התוצאה ההגיונית היא V = 25 קמ"ש