וידאו · בעיות תנועה
א5. בעיות תנועה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה דנו בבעיה מסוג בעיות תנועה, המתמקדת בשני רצים שמתחרים במסלול מעגלי באורך 480 מטר, הזינוק שלהם מאותה נקודה ובאותו כיוון, והחישוב של מהירויותיהם בהתחשב בזמן בו נפגשו והפרשי הזמן לסיבוב.
- להבין את מושגי הבעיה במסלול מעגלי
- לתרגם טקסט מתמטי לייצוגים אלגבריים
- לנסח משוואות המתאימות לנתוני הבעיה
- לפתור מערכת משוואות עם שני נעלמים
- להסביר מדוע הרצים נפגשים אחרי זמן מסוים
- להבין את משמעות ה'פדיחה' בהקשר של עיקוף במסלול מעגלי
- הגדרת הבעיה: שני רצים רצים במסלול מעגלי באורך 480 מטר, זינקו מאותה נקודה ובאותו כיוון. זמן סיבובו של הרץ המהיר קצר ב-20 שניות מזה של האיטי, והם נפגשו לאחר 240 שניות.
- ייצוג נתונים ויחסים: נגדיר את המהירויות של הרצים V1 (מהיר) ו-V2 (איטי). משך זמן לסיבוב הוא 480 חלקי המהירות. ננסח משוואות מבוססות על היחסים ביניהם.
- פיתוח המשוואות: המשוואה הראשונה מבוססת על זמן הסיבוב והשוני ב-20 שניות. המשוואה השנייה מבוססת על זמן הפגישה לאחר 240 שניות, שמייצג כי המהיר עקף את האיטי בסיבוב אחד.
תרגול קצר
חישוב מהירויות הרצים במסלול מעגלי
רמת קושי: קל
שני רצים זינקו מאותה נקודה ומאותו כיוון במסלול באורך 480 מטר. זמן סיבוב הרץ המהיר קצר ב-20 שניות מזה של האיטי. הם נפגשו לאחר 240 שניות. חשב את מהירויות הרצים V1 ו-V2 במטר לשנייה.
רמז: קבע משוואה לזמן הסיבוב של כל רץ ומשוואה לפגישתם, ואז פתר מערכת משוואות.
פתרון מלא
תשובה סופית: מהירות הרץ המהיר היא 8 מטר לשנייה ומהרץ האיטי 6 מטר לשנייה.
נסמן V1 מהירות הרץ המהיר, V2 מהירות הרץ האיטי. זמן סיבוב מהיר: 480/V1, איטי: 480/V2. מהנתון, 480/V2 - 480/V1 = 20 (1). מהרגע שהם נפגשו לאחר 240 שניות, הפרש המרחק שהמהיר עבר על האיטי בזמן זה הוא בדיוק סיבוב אחד: (V1 - V2)*240 = 480 (2). מהמשוואה (2): V1 - V2 = 2. נכפיל את המשוואה (1) ב-V1*V2 ונקבל: 480V1 - 480V2 = 20 V1 V2. מדר משוואה (2): V1 = V2 + 2. נציב במשוואה הקודמת ונקבל נוסחה ריבועית ב-V2. הפתרון הוא V2=6, לכן V1=8.
דרך הפתרון
פתרון בעיית שני רצים במסלול מעגלי
איך לחשב את מהירויות הרצים בהתחשב בזמן הפגישה והפרש זמן הסיבוב
מפת פתרון
- מטרה
למצוא מהירות הרץ המהיר V1 / מהירות הרץ האיטי V2
- נתון 1
נתון 1
אורך המסלול = 480 מטר - נתון 2
נתון 2
הפרש זמן סיבוב בין המהיר לבין האיטי = 20 שניות - נתון 3
נתון 3
זמן הפגישה הראשון = 240 שניות - רעיון
הרעיון המרכזי
לכתוב משוואות מבוססות על זמן הסיבוב והפרש המהירויות, ולפתור מערכת משוואות של שני נעלמים.
- נוסחה
הפרש הזמנים בין הסיבובים הוא 20 שניות.
T2 - T1 = 20 - משוואה
המהיר עקף את האיטי בדיוק בסיבוב אחד לאחר 240 שניות, לכן ההפרש במהירויות
המהיר עקף את האיטי בדיוק בסיבוב אחד לאחר 240 שניות, לכן ההפרש במהירויות כפול זמן
(V1 - V2) * 240 = 480 - פישוט
נבודד משתנה אחד ונציב במשוואה השנייה, נמצא את ערכי V1 ו-V2.
נבודד משתנה אחד ונציב במשוואה השנייה, נמצא את ערכי V1 ו-V2.
V1 = V2 + 2480/V2 - 480/(V2 + 2) = 20
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתוני הבעיה
זיהוי נתונים
נתוני הבעיה
מה עושים
נגדיר V1 ו-V2 מהירויות הרצים, נתונים את אורך המסלול וזמן הפגישה.
למה
הגדרת משתנים חשובה כדי לבנות מודל מתמטי ברור.
2בחירת שיטה
ניסוח משוואות לזמן הסיבוב
בחירת שיטה
ניסוח משוואות לזמן הסיבוב
מה עושים
זמן סיבוב של כל רץ הוא אורך המסלול חלקי מהירות המתאימה.
למה
זמן סיבוב הוא מרחק חלקי מהירות, ברורה לקשר בין המהירויות לזמני הסיבוב.
נוסחה / הצבה
T1 = 480 / V1T2 = 480 / V23בניית משוואה
משוואת הפרש זמן הסיבוב
בניית משוואה
משוואת הפרש זמן הסיבוב
מה עושים
הפרש הזמנים בין הסיבובים הוא 20 שניות.
למה
נתון ישיר שמאפשר בניית משוואה ראשונה.
נוסחה / הצבה
T2 - T1 = 204בניית משוואה
משוואת פגישת הרצים
בניית משוואה
משוואת פגישת הרצים
מה עושים
המהיר עקף את האיטי בדיוק בסיבוב אחד לאחר 240 שניות, לכן ההפרש במהירויות כפול זמן הפגישה שווה לאורך סיבוב אחד.
למה
המשוואה מבטאת את פגישת הרצים במסלול מעגלי.
נוסחה / הצבה
(V1 - V2) * 240 = 4805פתרון
פתרון מערכת המשוואות
פתרון
פתרון מערכת המשוואות
מה עושים
נבודד משתנה אחד ונציב במשוואה השנייה, נמצא את ערכי V1 ו-V2.
למה
פתרון למערכת משוואות עם שני נעלמים.
נוסחה / הצבה
V1 = V2 + 2480/V2 - 480/(V2 + 2) = 20השתמשו במשוואה (2) כדי להחליף V1 במשוואה (1).
6תשובה
מציאת ערכים סופיים
תשובה
מציאת ערכים סופיים
מה עושים
חישוב ערכי מהירויות: V2=6, V1=8 מטר לשנייה.
למה
מספק תשובה לכמה המהירויות הן בפועל לפי תנאי הבעיה.
פתרונות כלליים
- חישוב מהירויות הרצים במסלול מעגלי: נסמן V1 מהירות הרץ המהיר, V2 מהירות הרץ האיטי. זמן סיבוב מהיר: 480/V1, איטי: 480/V2. מהנתון, 480/V2 - 480/V1 = 20 (1). מהרגע שהם נפגשו לאחר 240 שניות, הפרש המרחק שהמהיר עבר על האיטי בזמן זה הוא בדיוק סיבוב אחד: (V1 - V2)*240 = 480 (2). מהמשוואה (2): V1 - V2 = 2. נכפיל את המשוואה (1) ב-V1*V2 ונקבל: 480V1 - 480V2 = 20 V1 V2. מדר משוואה (2): V1 = V2 + 2. נציב במשוואה הקודמת ונקבל נוסחה ריבועית ב-V2. הפתרון הוא V2=6, לכן V1=8.