שיעור בנושא פתרון תרגיל טריגונומטרי במישור הכולל טיפול בטרפז עם זוויות וצלעות, שימוש במשפט הקוסינוסים, משפט הסינוסים, וחישוב שטח, זווית, אורך אלכסון ורדיוס מעגל חסום.
לזהות טרפז ואלמנטים מתמטיים בו
להשתמש במשפט הקוסינוסים לחישוב זוויות וצלעות
להפעיל משפט הסינוסים למציאת רדיוס מעגל חסום
לחשב שטח של טרפז בעזרת גובה ונוסחת השטח
להבין בניית עזר אסטרטגית בהעברת מקביל לשוקיים
תיאור התרגיל ופרמטרים: הצגת הטרפז עם צלעות 5, 8, 10, 12 וזווית אלפא לניצול במשפט הקוסינוסים.
חישוב הזווית אלפא במשפט הקוסינוסים: פעלנו במשולש המעורב עם שלוש צלעות וחישבנו את זווית אלפא באמצעות משפט הקוסינוסים.
חישוב אורך האלכסון: משפט הקוסינוסים שוב, הפעם למציאת אורך האלכסון BD במשולש אחר.
חישוב רדיוס המעגל החסום למשולש BDC: הפעלת משפט הסינוסים למציאת רדיוס המעגל החסום על סמך אלכסון BD והזווית הדרושה.

תרגול קצר

חישוב זווית אלפא בטרפז

רמת קושי: קל

ממתין

נתון טרפז עם צלעות 7, 8, 10 וזווית לא ידועה אלפא מול צלע 8. חשבו את זווית אלפא באמצעות משפט הקוסינוסים.

משפט הקוסינוסיםזוויותטרפז

רמז: השתמשו בנוסחת משפט הקוסינוסים לחישוב זווית שמעורבת בשלוש צלעות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 52.6 מעלות

נשתמש במשפט הקוסינוסים: 8^2 = 7^2 + 10^2 - 2*7*10*cos(alpha). חישוב: 64 = 49 + 100 - 140*cos(alpha), 64 -149 = -140*cos(alpha), -85 = -140*cos(alpha), cos(alpha) = 85/140 = 0.607. לכן, alpha = cos-1(0.607) ≈ 52.6 מעלות.

חישוב אורך האלכסון בטרפז

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן צלעות 10 ו-12 של משולש עם זווית 52.6 מעלות ביניהן, חשבו את אורך האלכסון BD.

משפט הקוסינוסיםאלכסוןחישובים

רמז: השתמש במשפט הקוסינוסים לאותו משולש עם הזווית הנתונה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 9.913

BD^2 = 10^2 + 12^2 - 2*10*12*cos(52.6). חישוב: BD^2=100 + 144 - 240*cos(52.6). cos(52.6)=0.607, אז BD^2=244 - 240*0.607=244 - 145.68=98.32. BD = שורש(98.32) ≈ 9.913.

חישוב רדיוס המעגל החסום במשולש

רמת קושי: מאתגר

ממתין

משולש עם אלכסון 9.913 וזווית אלפא = 52.6. חשבו את רדיוס המעגל החסום לפי משפט הסינוסים.

משפט הסינוסיםרדיוס מעגל חסום

רמז: השתמש במשפט הסינוסים והנוסחה הרלוונטית עבור רדיוס המעגל החסום.

פתרון מלא

תשובה סופית: 6.23

לפי משפט הסינוסים: BD / sin(alpha) = 2 * R. לכן, R = BD / (2*sin(alpha)) = 9.913 / (2 * sin(52.6)). sin(52.6) ≈ 0.795, אז R= 9.913 / (1.59) ≈ 6.23.

חשב שטח טרפז עם גובה

רמת קושי: בגרות

ממתין

טרפז עם בסיסים 5 ו-8, וגובה 7.95. חשבו את שטח הטרפז.

שטחטרפזבסיסיםגובה

רמז: השתמש בנוסחת שטח הטרפז: סכום הבסיסים כפול הגובה חלקי 2.

פתרון מלא

תשובה סופית: 51.675

שטח = (5 + 8) * 7.95 / 2 = 13 * 7.95 / 2 = 103.35 / 2 = 51.675.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל חישוב זווית אלפא בטרפז

בעזרת משפט הקוסינוסים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא זווית אלפא במעלות
נתון 1
צלעות: 7, 8, 10
נתון 2
יש למצוא את זווית אלפא מול צלע 8
רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב את הזווית באמצעות משפט הקוסינוסים לפי שלוש הצלעות הנתונות.
נוסחה
מבודדים את cos(alpha) במשוואה ונפתור.
cos(alpha) = (49 + 100 - 64) / (2*7*10)cos(alpha) = 85 / 140 = 0.607
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מחשבים את ארק קוסינוס של הערך.
מחשבים את ארק קוסינוס של הערך.
alpha = arccos(0.607) ≈ 52.6 מעלות
תוצאה
מסיימים בתשובה
הערך נמצא בין 0 ל-90 מעלות, הגיוני במשולש.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הצלעות במשולש

מה עושים

יש לנו צלעות 7, 8, 10 והזווית אלפא מול הצלע 8 לא ידועה.

למה

הצלעות מאפשרות להשתמש במשפט הקוסינוסים.

בחירת שיטה

משפט הקוסינוסים

מה עושים

משפט הקוסינוסים יחבר בין הצלעות לזווית אלפא.

למה

מאפשר חישוב זווית שחסרה במשולש לא ישר זווית.

נוסחה / הצבה

64 = 49 + 100 - 140 * cos(alpha)8^2 = 7^2 + 10^2 - 2*7*10*cos(alpha)8^2 = 7^2 + 10^2 - 2 * 7 * 10 * ()

מטרה להוציא את cos(alpha) ולחשב alpha.

בניית משוואה

סידור המשוואה לפיתרון

מה עושים

מבודדים את cos(alpha) במשוואה ונפתור.

למה

כדי לקבל ערך מספרי של הזווית.

נוסחה / הצבה

cos(alpha) = (49 + 100 - 64) / (2*7*10)cos(alpha) = 85 / 140 = 0.607

השתמשו במחשבון מדעי.

פתרון

חישוב alpha

מה עושים

מחשבים את ארק קוסינוס של הערך.

למה

כדי לקבל את הזווית במעלות.

נוסחה / הצבה

alpha = arccos(0.607) ≈ 52.6 מעלות

שימו לב ליחידת המידה במחשבון.

בדיקה

בדיקת תוצאה הגיונית

מה עושים

הערך נמצא בין 0 ל-90 מעלות, הגיוני במשולש.

למה

מאחר והזווית צריכה להיות חדה במשולש הנתון.

תשובה

זווית alpha

מה עושים

מסקנה הסופית היא alpha ≈ 52.6°.

למה

פתרון ברור ונכון לתרגיל.

נוסחה / הצבה

alpha ≈ 52.6 מעלות

פתרונות כלליים

חישוב זווית אלפא בטרפז: נשתמש במשפט הקוסינוסים: 8^2 = 7^2 + 10^2 - 2*7*10*cos(alpha). חישוב: 64 = 49 + 100 - 140*cos(alpha), 64 -149 = -140*cos(alpha), -85 = -140*cos(alpha), cos(alpha) = 85/140 = 0.607. לכן, alpha = cos-1(0.607) ≈ 52.6 מעלות.
חישוב אורך האלכסון בטרפז: BD^2 = 10^2 + 12^2 - 2*10*12*cos(52.6). חישוב: BD^2=100 + 144 - 240*cos(52.6). cos(52.6)=0.607, אז BD^2=244 - 240*0.607=244 - 145.68=98.32. BD = שורש(98.32) ≈ 9.913.
חישוב רדיוס המעגל החסום במשולש: לפי משפט הסינוסים: BD / sin(alpha) = 2 * R. לכן, R = BD / (2*sin(alpha)) = 9.913 / (2 * sin(52.6)). sin(52.6) ≈ 0.795, אז R= 9.913 / (1.59) ≈ 6.23.
חשב שטח טרפז עם גובה: שטח = (5 + 8) * 7.95 / 2 = 13 * 7.95 / 2 = 103.35 / 2 = 51.675.

הפריט הקודם הפריט הבא

א6. תרגיל בטריגו במישור עם טרפז ובניית עזר מאוד חשובה

ניווט לפי נושאים

טריגו במישור

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא זווית אלפא במעלות

צלעות: 7, 8, 10

יש למצוא את זווית אלפא מול צלע 8

הרעיון המרכזי

מבודדים את cos(alpha) במשוואה ונפתור.

נבנה משוואה

מחשבים את ארק קוסינוס של הערך.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הצלעות במשולש

משפט הקוסינוסים

סידור המשוואה לפיתרון

חישוב alpha

בדיקת תוצאה הגיונית

זווית alpha

פתרונות כלליים