וידאו · משוואות לוגריתמיות
א5. חוקי לוגים ומשוואות לוגריתמיות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור המתמקד בטכניקות לפתרון משוואות לוגריתמיות, עם דגש על סימון משתנים ושימוש בחוקי הלוגריתמים לפתירת מקרים מיוחדים בהם הלוג נמצא במעריך ובכפל בין לוגריתמים.
- להבין כיצד לטפל בלוג במעריך
- לזהות מתי להשתמש בסימון משתנה עזר (T)
- ליישם חוקי לוגריתמים בכיוונים הפוכים
- לפתור משוואות לוגריתמיות עם כפל בין לוגריתמים
- לבדוק את תוצאות הפתרון באמצעות חישוב מספרי
- הכנה ודיון על תרגיל מיוחד: הצגת סוגיה בה הלוגריתם מופיע כחזקה, וצריכים לסמן משתנה עזר לטיפול במשוואה.
- שימוש בטקטיקות וטריקים לפתרון: איך מסמנים משתנה מקשר ומיישמים את חוקי הלוגריתמים בכיוון הפוך על מנת להפשט ביטויים.
- חשיבות בדיקת פתרונות במספרים: לאחר מציאת פתרונות עם ערכים מקורבים, מוצג חשיבות הבדיקה למול משוואת המקור.
תרגול קצר
פתירת משוואה לוגריתמית עם לוג במעריך
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה \( 3^{\log_3 x} = 81 \).
רמז: סמן T = לוג בסיס 3 של x, ואז השווה חזקות עם בסיס 3.
פתרון מלא
תשובה סופית: 81
נסמן T = לוג בסיס 3 של x. לפי ההגדרה, x = 3^T. במשוואה \( 3^T = 81 \), נכתוב כברור ש-81 = 3^4. לכן, \( 3^T = 3^4 \) ולכן \( T = 4 \). מכיוון ש-T = לוג 3 של x, נקבל \( \log_3 x = 4 \) ולכן \( x = 3^4 = 81 \).
פישוט והמרה במשוואות לוגריתמיות
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה \( \log_3 x \cdot \log_3 (9x) = 10 \).
רמז: השתמש בסימון T לוג בסיס 3 של x, וכתוב את הפעולה כתוספת לוגריתמית תוך שימוש בחוקי חיבור.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 3^{ -1 + \sqrt{11} } ו-x = 3^{ -1 - \sqrt{11} }
נסמן \( T = \log_3 x \). נרצה לבטא את \( \log_3 (9x) \). נזכור ש-9 = 3^2 ולכן \( \log_3 (9x) = \log_3 9 + \log_3 x = 2 + T \). המשוואה הופכת ל- \( T \cdot (2 + T) = 10 \) כלומר \( 2T + T^2 = 10 \). פתרון המשוואה הריבועית \( T^2 + 2T - 10 = 0 \) עם נוסחת השורשים נותן \( T = -1 \, \pm \sqrt{11} \) . מחייב לבדוק אילו ערכים מתאימים ל-x. מכיוון ש \( x = 3^T \), כל ערך של T הוא חוקי, לכן שורשי T הם הפתרונות. אפשר למצוא \( x = 3^{T} \) עבור כל שורש.
דרך הפתרון
פתרון משוואה עם לוגים בכפל
כיצד לפתור את המשוואה \( \log_3 x \cdot \log_3 (9x) = 10 \)
מפת פתרון
- מטרה
למצוא את ערך x המתקיים במשוואה
- נתון 1
log על בסיס 3 של x
- נתון 2
log על בסיס 3 של 9x
- נתון 3
נתון 3
log3(x) * log3(9x) = 10 - רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בסימון משתנה עזר T והמיר את כפל הלוגריתמים לסכום בעזרת חוקי הלוגריתמים בכיוון ההפוך.
- נוסחה
נזכור ש-9 = 3^2 ולכן log3(9x) = log3(9) + log3(x) = 2 + T.
log3(9x) = 2 + T - משוואה
נתונה המשוואה log3(x) כפול log3(9x) שווה 10.
נתונה המשוואה log3(x) כפול log3(9x) שווה 10.
- פישוט
נפתח לסוגריים ונפתור T^2 + 2T - 10 = 0.
נפתח לסוגריים ונפתור T^2 + 2T - 10 = 0.
T^2 + 2T - 10 = 0
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
המשוואה המקורית
זיהוי נתונים
המשוואה המקורית
מה עושים
נתונה המשוואה log3(x) כפול log3(9x) שווה 10.
למה
זו המשוואה שיש לפתור.
הכפל בין שני הלוגריתמים יוצא במפורש במשוואה.
2בחירת שיטה
הגדרת משתנה עזר T
בחירת שיטה
הגדרת משתנה עזר T
מה עושים
נסמן T = log3(x) כדי לפשט את המשוואה.
למה
על מנת להפוך את המשוואה למשוואה ריבועית נוחה יותר.
המשתנה T מייצג את הלוגריתם של x בסיס 3.
שימוש במשתנה עזר מפשט חישובים.
3בניית משוואה
המרת log3(9x)
בניית משוואה
המרת log3(9x)
מה עושים
נזכור ש-9 = 3^2 ולכן log3(9x) = log3(9) + log3(x) = 2 + T.
למה
לפי חוקי הלוגריתמים, לוגריתם מכפלה הוא סכום לוגריתמים.
המשוואה יכולה להתפרק לפעולה פשוטה יותר בתנאי שהכפל הלוגריתמי מוצג כסכום.
נוסחה / הצבה
log3(9x) = 2 + Tהקפידו להשתמש בסוגריים נכון.
4בניית משוואה
כתיבת המשוואה עם T בלבד
בניית משוואה
כתיבת המשוואה עם T בלבד
מה עושים
נחליף את הביטויים במשוואה: T * (2 + T) = 10.
למה
המשוואה כעת ריבועית בנוהל פשוט לפתירה.
המשוואה שלמדנו לפתור.
נוסחה / הצבה
T * (2 + T) = 10חשוב לזכור לסגור סוגריים.
5פתרון
פתירת המשוואה הריבועית
פתרון
פתירת המשוואה הריבועית
מה עושים
נפתח לסוגריים ונפתור T^2 + 2T - 10 = 0.
למה
פתרון משוואה ריבועית לבדיקה וסינון הפתרונות.
נמצא את שורשי המשוואה ונבחר לפי ההקשר.
נוסחה / הצבה
T^2 + 2T - 10 = 0השתמשו בנוסחת השורשים.
6תשובה
חישוב x
תשובה
חישוב x
מה עושים
חישוב x = 3^T עבור שני שורשי T.
למה
השאלה מבקשת למצוא את x ולא את T.
זה הפתרון הסופי שהמשוואה דורשת.
נוסחה / הצבה
x = 3^(-1 + 11), x = 3^(-1 - 11)יש לבדוק אילו פתרונות מתאימים לתחום ההגדרה.
פתרונות כלליים
- פתירת משוואה לוגריתמית עם לוג במעריך: נסמן T = לוג בסיס 3 של x. לפי ההגדרה, x = 3^T. במשוואה \( 3^T = 81 \), נכתוב כברור ש-81 = 3^4. לכן, \( 3^T = 3^4 \) ולכן \( T = 4 \). מכיוון ש-T = לוג 3 של x, נקבל \( \log_3 x = 4 \) ולכן \( x = 3^4 = 81 \).
- פישוט והמרה במשוואות לוגריתמיות: נסמן \( T = \log_3 x \). נרצה לבטא את \( \log_3 (9x) \). נזכור ש-9 = 3^2 ולכן \( \log_3 (9x) = \log_3 9 + \log_3 x = 2 + T \). המשוואה הופכת ל- \( T \cdot (2 + T) = 10 \) כלומר \( 2T + T^2 = 10 \). פתרון המשוואה הריבועית \( T^2 + 2T - 10 = 0 \) עם נוסחת השורשים נותן \( T = -1 \, \pm \sqrt{11} \) . מחייב לבדוק אילו ערכים מתאימים ל-x. מכיוון ש \( x = 3^T \), כל ערך של T הוא חוקי, לכן שורשי T הם הפתרונות. אפשר למצוא \( x = 3^{T} \) עבור כל שורש.