וידאו · משוואות לוגריתמיות
א4. חוקי לוגים ומשוואות לוגריתמיות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בחוקים מרכזיים של הלוגריתמים, בעיקר חוק החזקה של לוגריתמים, חוק מעבר בסיסים, ויישום של כלים אלה לפתרון משוואות לוגריתמיות. דגש ניתן על תרגול שימוש במחשבון, שיטות לצמצום משוואות, ועבודה עם תוצאות מספריות בשיטות כתיבה מדעיות והנדסיות.
- להבין ולנסח את חוק החזקה של לוגריתמים
- להכיר וליישם את חוק מעבר בסיסים בלוגריתמים
- לפתור משוואות לוגריתמיות בשימוש בחוקים אלה
- להשתמש נכון במחשבון להערכת ערכי לוגריתמים בכללים ובמשוואות
- להבין ולהסביר משמעות של מספרים בכתיבה מדעית/הנדסית ולהתמודד עם תוצאות מסובכות או לא תקינות
- חוק החזקה של לוגריתמים: חוק יסודי הקובע כי מספר בחזקה של לוגריתם עם אותו בסיס מצא את הגוף של הלוגריתם עצמו.
- חוק מעבר בסיסים: חוק המאפשר המרה של לוגריתם עם בסיס כלשהו ללוגריתם עם בסיס רצוי (לרוב e או 10) לצורך חישובים ושימוש במחשבון.
- יישום חוקים ומשוואות לוגריתמיות: פתרון משוואות לוגריתמיות הכוללות ביטויים מפורקים, שימוש בהצבות, והערכת תוצאות תוך התחשבות בתחום הבעיה.
תרגול קצר
פשטו את הביטוי: 3 בחזקה של לוג בסיס 3 של 317
רמת קושי: קל
חשב את הערך של 3 בחזקה של לוגריתם בבסיס 3 של 317.
רמז: השתמשו בחוק החזקה של לוגריתמים: a בחזקה log_a של x שווה x.
פתרון מלא
תשובה סופית: 317
3 בחזקה לוג של 317 בבסיס 3 שווה 317 לפי החוק.
ענו על המשוואה: x בריבוע מינוס 5x שווה 0
רמת קושי: בינוני
פתרו את המשוואה x^2 - 5x = 0 ואתכן את פתרונותיה.
רמז: ממשיכו במשוואה על ידי פירוק גורמים או שימוש בכלל הניתן.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 0 או x = 5
x^2 - 5x = x(x - 5) = 0. לכן x=0 או x=5
פתרו משוואה לוגריתמית מורכבת
רמת קושי: מאתגר
פתרו את המשוואה Lan (x^2 - 5x + 6) שווה ל-0, כאשר Lan הוא לוגריתם טבעי (ln).
רמז: צמצמו את המשוואה, מצאו את התחום ואחר כך פתרו את המשוואה הריבועית שבתוך הלוגריתם.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = (5 + √5)/2 או x = (5 - √5)/2
מכיוון ש-ln(a) = 0 כאשר a = 1, נקבע x^2 - 5x + 6 = 1. המשוואה היא x^2 - 5x + 5 = 0. באמצעות נוסחת השורשים, x = (5 ± √(25 - 20))/2 = (5 ± √5)/2. בדקו תחום (הביעים בתוכן הביטוי היו חיוביים).
מסהול לוגריתמי עם מעבר בסיסים
רמת קושי: בגרות
חשב ערך של ln(7)/ln(3) באמצעות מחשבון וחשוב אם זה שווה ל-log בסיס 8 של 7 חלקי log בסיס 8 של 3.
רמז: השתמש בחוק מעבר הבסיסים כדי להתאים את הבסיס ובדוק חישוב באמצעות היכרות עם המחשבון.
פתרון מלא
תשובה סופית: 約 1.707
לפי חוק מעבר בסיסים ln(7)/ln(3) שווה ל-log בסיס 8 של 7 חלקי log בסיס 8 של 3. שני הביטויים שווים ומחרישים לטעות בכל השיטות.
דרך הפתרון
פתרון תרגיל: 3 בחזקה לוגריתם בבסיס 3 של 317
יישום חוק החזקה של הלוג במצב פשוט
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הערך של: 3 ^ (log בסיס 3 של 317)
- נתון 1
נתון 1
הבסיס a = 3 - נתון 2
נתון 2
הערך בתוך הלוגריתם V = 317 - רעיון
הרעיון המרכזי
ישירות להשתמש בחוק החזקה של הלוגריתמים לפישוט לביטוי פשוט.
- נוסחה
3 בחזקה log_3 317 הוא פשוט הביטוי של החוק
3^log_3(317) = 3173^(_3 317) = 317 - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
הערך הוא 317 באופן מדויק
הערך הוא 317 באופן מדויק
- תוצאה
מסיימים בתשובה
יש את המספר 3 ואת הלוגריתם בבסיס 3 של 317
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון בסיס וערך לוגריתם
זיהוי נתונים
נתון בסיס וערך לוגריתם
מה עושים
יש את המספר 3 ואת הלוגריתם בבסיס 3 של 317
למה
הבסיס והערך בלוגריתם ידועים וחשובים להתייחסות במבנה הביטוי
הבסיס הוא a=3 והלוגריתם הוא log_3 317
2בחירת שיטה
הכירו את חוק החזקה של לוגריתמים
בחירת שיטה
הכירו את חוק החזקה של לוגריתמים
מה עושים
a בחזקה log_a של x שווה ל-x
למה
חוק זה מאפשר לפשט ביטויים לוגריתמיים בצורה מהירה וחד משמעית
חוק יסודי לפישוט ביטויים לוגריתמיים
נוסחה / הצבה
a^log_a(x) = x3בניית משוואה
הביטוי ניתן לכתיבה כפשטות
בניית משוואה
הביטוי ניתן לכתיבה כפשטות
מה עושים
3 בחזקה log_3 317 הוא פשוט הביטוי של החוק
למה
לפי החוק כל המספר בחזקה של הלוגריתם שלו נותן את המספר עצמו
3 ^ (log_3 317) = 317
נוסחה / הצבה
3^log_3(317) = 3173^(_3 317) = 3174פתרון
הגיעו לפתרון הסופי
פתרון
הגיעו לפתרון הסופי
מה עושים
הערך הוא 317 באופן מדויק
למה
החוק מורה שהביטוי שווה למספר בתוך הלוגריתם
התוצאה הסופית היא 317
פתרונות כלליים
- פשטו את הביטוי: 3 בחזקה של לוג בסיס 3 של 317: 3 בחזקה לוג של 317 בבסיס 3 שווה 317 לפי החוק.
- ענו על המשוואה: x בריבוע מינוס 5x שווה 0: x^2 - 5x = x(x - 5) = 0. לכן x=0 או x=5
- פתרו משוואה לוגריתמית מורכבת: מכיוון ש-ln(a) = 0 כאשר a = 1, נקבע x^2 - 5x + 6 = 1. המשוואה היא x^2 - 5x + 5 = 0. באמצעות נוסחת השורשים, x = (5 ± √(25 - 20))/2 = (5 ± √5)/2. בדקו תחום (הביעים בתוכן הביטוי היו חיוביים).
- מסהול לוגריתמי עם מעבר בסיסים: לפי חוק מעבר בסיסים ln(7)/ln(3) שווה ל-log בסיס 8 של 7 חלקי log בסיס 8 של 3. שני הביטויים שווים ומחרישים לטעות בכל השיטות.