בשיעור זה נלמדה חקירת פונקציה לוגריתמית לזיהוי נקודות קיצון באמצעות גזירת פונקציה ושימוש במחשבון לחישוב ערכי הפונקציה בנקודות החשודות.
לחקור פונקציה לוגריתמית ולמצוא נקודות קיצון
לחשב נגזרת של פונקציה לוגריתמית הכוללת ביטויי ln
לפתור משוואות באמצעות חקירת הפונקציה במחשבון
להבין ולהשתמש בכלי מחשבון לבדיקה של נקודות קיצון ותחום הגדרה
לפרש את תחום ההגדרה ותנועת הפונקציה על פי הערכים שהתקבלו
חישוב הנגזרת ופישוט: נחשב את הנגזרת של הפונקציה הלוגריתמית הכוללת ביטויי ln ונבצע פישוטים כדי להגיע למשוואה במצב שווה לאפס.
פתרון משוואות לוגריתמיות: נמצא פתרונות למשוואה ln(x)^2=1 על ידי הבנת התנהגות הפונקציה והצבה של ערכי e מתאימים.
חיפוש נקודות הקיצון ובדיקת סימני הנגזרת: נבחן את סימן הנגזרת בנקודות שונות בתחום הגדרת הפונקציה כדי לזהות מקסימום ומינימום.
הסקת מסקנות וציור הגרף: לאחר זיהוי נקודות הקיצון ותחום ההגדרה, מציירים את גרף הפונקציה ומסיקים על התנהגותה.

תרגול קצר

מצא נקודות קיצון לפונקציה ln(1/x) - 1/ln(x)

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את הנגזרת של הפונקציה f(x)=ln(1/x) - 1/ln(x) ומצא את נקודות הקיצון שלה בתחום ההגדרה.

נגזרתפונקציה לוגריתמיתנקודות קיצון

רמז: תחשב את הנגזרת באמצעות חוקי נגזרת של לוגריתם וטיפל בפישוט באיטיות. מצא את השורשים של הנגזרת ואז בדוק את השינוי בסימן הנגזרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות הקיצון הן ב-x = e (מקסימום) ו-x = e^{-1} (מינימום).

הנגזרת היא d/dx [ln(1/x)] - d/dx [1/ln(x)] = -1/x - (-1/[x (ln(x))^2]) = -1/x + 1/(x (ln(x))^2). מכאן מפשטים ל (1 - (ln(x))^2) / (x (ln(x))^2) = 0 ⇒ 1 - (ln(x))^2 = 0 ⇒ (ln(x))^2 =1 ⇒ ln(x) = ±1 ⇒ x = e או x = e^{-1}. לאחר מכן נבדוק באמצעות הצבה בנגזרת סמוך לנקודות אלה סימני שוני כדי לקבוע נקודות מקסימום ומינימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד למצוא נקודות קיצון בפונקציה לוגריתמית

חקירת פונקציה ln(1/x) - 1/ln(x)

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות הקיצון של הפונקציה
נתון 1
נתון 1
f(x) = ln(1/x) - 1/ln(x)
נתון 2
נתון 2
תחום ההגדרה: x > 0, x ≠ 1 (כי ln(x)≠0)
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את הנגזרת של הפונקציה, נמצא את נקודות האפס שלה, ונבדוק את סימני הנגזרת כדי לקבוע את סוג
נוסחה
לחשב נגזרת של שני איברים בנפרד ולחבר
נגזרת ln(1/x) = -1/xנגזרת 1/ln(x) = -1/(x (ln(x))^2)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
נפשט ונציב תנאי שווה 0
נפשט ונציב תנאי שווה 0
1 - (ln(x))^2 = 0ln(x) = ±1
תוצאה
מסיימים בתשובה
נקודות הקיצון הן x = e^{-1} (מינימום) ו-x = e (מקסימום)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה ותחום ההגדרה

מה עושים

מתמקדים בפונקציה והגבלות התחום על x

למה

הפונקציה מכילה ln(x) ולכן x חייב להיות חיובי ול-1 אין נגזרת מסודרת בגלל ln(1)=0

פונקציה מוגדרת ל x>0, x≠1, f(x) = ln(1/x) - 1/ln(x)

בחירת שיטה

מציאת נקודות קיצון ע"י נגזרת

מה עושים

מחשבים את הנגזרת ומציבים אותה שווה ל-0

למה

נקודות קיצון הן במקום שבו הנגזרת מתאפסת או לא קיימת

d/dx f(x) = 0 ומציאת פתרונות

בניית משוואה

חישוב נגזרת הפונקציה

מה עושים

לחשב נגזרת של שני איברים בנפרד ולחבר

למה

נגזרת LN(1/x) היא נגזרת הפונקציה ln והתוצאה נגזרת של ביטוי עם ln ו-x

d/dx ln(1/x) = -1/x d/dx 1/ln(x) = -1 / (x (ln(x))^2)

נוסחה / הצבה

נגזרת ln(1/x) = -1/xנגזרת 1/ln(x) = -1/(x (ln(x))^2)

לזכור חוקים של נגזרת לוגריתם וכפל בחזקות שליליות

פתרון

למצוא את הערכים שיגרמו לנגזרת להתאפס

מה עושים

נפשט ונציב תנאי שווה 0

למה

כדי למצוא נקודות קיצון של הפונקציה

הנגזרת מתאפס כאשר 1 - (ln(x))^2 = 0 ⇒ ln(x) = ±1 ⇒ x = e או x = e^{-1}

נוסחה / הצבה

1 - (ln(x))^2 = 0ln(x) = ±1x = ex = e^(-1)

זכור כי ln(x)^2 פירושו (ln(x))^2

פתרון

בדיקת סיגנלי נגזרת סביב נקודות האפס

מה עושים

נציב ערכים קטנים וגדולים מ-e^{-1} ו-e ונבדוק אם הנגזרת חיובית או שלילית

למה

כדי לקבוע האם הנקודות הן מקסימום או מינימום

תוצאות הבדיקות: נגזרת משתנה מסימן שלילי לחיובי ב-x=e^{-1} ⇒ מינימום נגזרת משתנה מסימן חיובי לשלילי ב-x=e ⇒ מקסימום

ניתן להשתמש במחשבון להערכת ערכי הנגזרת סביב הנקודות

תשובה

סיכום נקודות הקיצון

מה עושים

נקודות הקיצון הן x = e^{-1} (מינימום) ו-x = e (מקסימום)

למה

על פי בחינת סימני הנגזרת והפתרון שהתקבל

פתרונות כלליים

מצא נקודות קיצון לפונקציה ln(1/x) - 1/ln(x): הנגזרת היא d/dx [ln(1/x)] - d/dx [1/ln(x)] = -1/x - (-1/[x (ln(x))^2]) = -1/x + 1/(x (ln(x))^2). מכאן מפשטים ל (1 - (ln(x))^2) / (x (ln(x))^2) = 0 ⇒ 1 - (ln(x))^2 = 0 ⇒ (ln(x))^2 =1 ⇒ ln(x) = ±1 ⇒ x = e או x = e^{-1}. לאחר מכן נבדוק באמצעות הצבה בנגזרת סמוך לנקודות אלה סימני שוני כדי לקבוע נקודות מקסימום ומינימום.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב3. חקירה של פונקציה לוגריתמית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה לוגריתמית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודות הקיצון של הפונקציה

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

לחשב נגזרת של שני איברים בנפרד ולחבר

נבנה משוואה

נפשט ונציב תנאי שווה 0

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה ותחום ההגדרה

מציאת נקודות קיצון ע"י נגזרת

חישוב נגזרת הפונקציה

למצוא את הערכים שיגרמו לנגזרת להתאפס

בדיקת סיגנלי נגזרת סביב נקודות האפס

סיכום נקודות הקיצון

פתרונות כלליים