השיעור עוסק בחקירה של פונקציה לוגריתמית, בדגש על תחומי הגדרה, סימפטוטות, התנהגות גבולית והעמדת עוגנים. כמו כן, מתבצע שימוש באינטואיציה ובמחשבון להבנת התנהגות הפונקציה.
להבין כיצד למצוא תחומי הגדרה של פונקציה לוגריתמית מורכבת
לזהות את הערכים אשר אינם בתחום ההגדרה
להבין את התהליך של מציאת עוגנים (אסימפטוטות) אנכיות ואופקיות
לנתח את ההתנהגות של הפונקציה בהתקרבות לערכים קריטיים
ללמוד כיצד להשתמש במחשבון כדי לאמת את התנהגות הפונקציה
להבין שמקרים מסוימים של משוואות לוגריתמיות דורשים סבלנות וייתכן שלא ניתנים לפתרון פשוט
תחומי הגדרה: מנתחים את תחומי ההגדרה של הפונקציה. יש לשים לב שמכנים הרלוונטיים אינם אפס, וכן שהלוגאריתם מוגדר בלבד על מחזור חיובי.
חישוב גבולות והתנהגות בלא פניות: ביצוע חישוב גבולות קריטיים של הפונקציה סביב נקודות מיוחדות כגון 0 ו-1 וסביב אינסוף כדי לזהות אסימפטוטות
חיתוכים עם הצירים ומתן הסברים: מעקב בודק האם הפונקציה חותכת את צירי X ו-Y תוך הבנת הקושי בפתרון משוואות לוגריתמיות מסוימות

תרגול קצר

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = ln(1/x) - 1/ln(x)

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = ln(1/x) - 1/ln(x). מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום הגדרהלוגוריתםמכניםפונקציה לוגריתמית

רמז: זכור שתחום ההגדרה של ln(x) הוא x>0, וששום מכנה לא יכול להיות אפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: { x | x > 0, x ≠ 1 }

תחום ההגדרה נקבע על פי תנאים: 1) x>0 כי ln(x) מוגדר רק כך; 2) x לא יכול להיות 1 כי ln(1)=0 ומתקיים מכנה אפס; 3) גם 1/x חייב להיות חיובי כדי שה-ln יהיה מוגדר, מה שמחזיר ל-x>0. לכן תחום ההגדרה הוא x > 0 ו-x ≠ 1.

מצא את גבולות הפונקציה בנקודות קריטיות

רמת קושי: בינוני

ממתין

לפי הפונקציה f(x) = ln(1/x) - 1/ln(x), חשב את הגבולות: lim x→0⁺ f(x), lim x→1⁻ f(x), lim x→1⁺ f(x), lim x→∞ f(x).

גבולותהתנהגות פונקציהאסימפטוטות

רמז: בדוק כל ביטוי אינדיבידואלי, השתמש בידע על התנהגות ln(x) ו-1/ln(x) בסביבת הנקודות.

פתרון מלא

תשובה סופית: lim x→0⁺ f(x) = +∞, lim x→1⁻ f(x) = +∞, lim x→1⁺ f(x) = -∞, lim x→∞ f(x) = -∞

- lim x→0⁺ ln(1/x) שואף ל+∞; 1/ln(x) שואף ל-0^- (כי ln(x) → -∞), אז f(x) → +∞ - lim x→1⁻ ln(1/x) שואף ל0. 1/ln(x) שואף ל- -∞ כי ln(x) → 0^- ולכן f(x) → +∞ - lim x→1⁺ ln(1/x) שואף ל0. 1/ln(x) שואף ל+∞ כי ln(x) → 0^+, ולכן f(x) → -∞ - lim x→∞ ln(1/x) שואף ל -∞; 1/ln(x) שואף ל0^+, אז f(x) כמשהו קטן מאוד -∞

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת תחום ההגדרה והגבולות של הפונקציה

דרך פשוטה לנתח פונקציה לוגריתמית עם תנאים ואסימפטוטות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה המדויק של f / גבולות כאשר x מתקרב ל-0, ל-1, ולאינסוף
נתון 1
נתון 1
פונקציה: f(x) = ln(1/x) - 1/ln(x)
נתון 2
נתון 2
תחום הגדרת הלוגריתם: x > 0
נתון 3
אסור שהמכנים יהיו אפס
רעיון
הרעיון המרכזי
נבדוק את תחום ההגדרה לפי תנאי הלוגריתם והמכנה ונחשב גבולות בגבולות התחום.
נוסחה
זיהוי ש-ln(x) במכנה לא יתאפס
x > 0x != 1x ≠ 1x > 0, x != 1
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חשב את הגבולות X→0⁺, X→1⁻, X→1⁺ ו-X→∞
חשב את הגבולות X→0⁺, X→1⁻, X→1⁺ ו-X→∞

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

קביעת תחום ההגדרה

מה עושים

קובע שמכני הפונקציה אינם אפס והלוגריתם מוגדר

למה

כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת במתמטיקה

מאתר את הערכים האסורים עבור x

זכור ש-ln(x) מוגדר רק ל-x חיובי

בחירת שיטה

בדיקת תחום ההגדרה

מה עושים

מתחייב ש-x > 0 וש-ln(x) ≠ 0

למה

כדי למנוע חלוקה באפס או לוגריתם של מספר שאינו בתחום ההגדרה

לאפשר לחישוב הפונקציה להתבצע בכל נקודה בתחום

רשם ש-ln(1) = 0, לכן x ≠ 1

בניית משוואה

קביעה כי x ≠ 1

מה עושים

זיהוי ש-ln(x) במכנה לא יתאפס

למה

כי 1/ln(1) לא מוגדר

תחום ההגדרה הוא x > 0 ו-x ≠ 1

נוסחה / הצבה

x > 0x != 1x ≠ 1x > 0, x != 1

זכור בדיקות תחום הגדרה בפונקציות לוגריתמיות

פתרון

חישוב גבולות קריטיים

מה עושים

חשב את הגבולות X→0⁺, X→1⁻, X→1⁺ ו-X→∞

למה

כדי להבין התנהגות הפונקציה בערכים חשובים

השתמש בידע על התנהגות לוגריתמים לאורך התחום

בדוק גם את הצדדים השונים של גבולות הקריטיים

פתרון

הסקת מסקנות השוללות חיתוכים וציון עוגנים

מה עושים

אלכס את הערכים שחלקם שואפים לאינסוף או מינוס אינסוף

למה

כדי לקבוע את קיומן של אסימפטוטות אנכיות ואופקיות

מתאר התנהגות אסימפטוטית של הפונקציה בנקודות מסוימות

זהה נקודות בהן הפונקציה אינה מוגדרת כנקודות עוגן

פתרונות כלליים

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = ln(1/x) - 1/ln(x): תחום ההגדרה נקבע על פי תנאים: 1) x>0 כי ln(x) מוגדר רק כך; 2) x לא יכול להיות 1 כי ln(1)=0 ומתקיים מכנה אפס; 3) גם 1/x חייב להיות חיובי כדי שה-ln יהיה מוגדר, מה שמחזיר ל-x>0. לכן תחום ההגדרה הוא x > 0 ו-x ≠ 1.
מצא את גבולות הפונקציה בנקודות קריטיות: - lim x→0⁺ ln(1/x) שואף ל+∞; 1/ln(x) שואף ל-0^- (כי ln(x) → -∞), אז f(x) → +∞ - lim x→1⁻ ln(1/x) שואף ל0. 1/ln(x) שואף ל- -∞ כי ln(x) → 0^- ולכן f(x) → +∞ - lim x→1⁺ ln(1/x) שואף ל0. 1/ln(x) שואף ל+∞ כי ln(x) → 0^+, ולכן f(x) → -∞ - lim x→∞ ln(1/x) שואף ל -∞; 1/ln(x) שואף ל0^+, אז f(x) כמשהו קטן מאוד -∞

הפריט הקודם הפריט הבא

ב2. חקירה של פונקציה לוגריתמית ת.ה אסימפטוטת חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה לוגריתמית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה המדויק של f / גבולות כאשר x מתקרב ל-0, ל-1, ולאינסוף

נתון 1

נתון 2

אסור שהמכנים יהיו אפס

הרעיון המרכזי

זיהוי ש-ln(x) במכנה לא יתאפס

נבנה משוואה

חשב את הגבולות X→0⁺, X→1⁻, X→1⁺ ו-X→∞

פתרון מפורט

קביעת תחום ההגדרה

בדיקת תחום ההגדרה

קביעה כי x ≠ 1

חישוב גבולות קריטיים

הסקת מסקנות השוללות חיתוכים וציון עוגנים

פתרונות כלליים