MMATH
התחברות

וידאו · משוואה מעריכית

א9. משוואות מעריכיות

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

293 פריטים · 19 נושאים0%

סיכום שיעור

  • שיעור זה מתמקד בפתרון משוואות מעריכיות בשני נעלמים תוך שימוש בהצבה, כינויים לזוזות חדשות, והפשטות אלגבריות, עם דגש על ארגון העבודה ומניעת טעויות חשבוניות.
  • להבין כיצד להמיר משוואות מעריכיות למשתנים חדשים לצורך פתרון פשוט יותר
  • לפתור מערכות משוואות מעריכיות בשתי נעלמים באמצעות הצבה וכינויים
  • לפשט ביטויים אלגבריים ולמצוא פתרונות משוואות ממעלה שנייה
  • לשפר את הדיוק והארגון בעבודה אלגברית ארוכה
  • פישוט משוואות מעריכיות למשתנים חדשים: החלפה של חזקות הבסיסים המשתנים למשתנים T ו-K וניצול חוקי חזקות להורדת מערכות המשוואות לצורת טרינומים ומערכות אלגבריות לפתרון קל יותר.
  • פתרון משוואות ממעלה שנייה ופתרון מערכת משוואות: פיתרון משוואות ריבועיות ב-T וב-K למציאת ערכי המשתנים, ולאחר מכן התאמה חזרה ל-X ו-Y בעזרת הפשרות של הלוגריתמים.

תרגול קצר

פתור משוואה מעריכית ב-T

רמת קושי: קל

ממתין

פתור את המשוואה 4T - 8 + 3T = T^2 - 2T

משוואה מעריכיתטרינוםבסיס 2פתרון

רמז: כנס קודם כל אגפים והפוך למשוואת טרינום רגילה ב-T

פתרון מלא

תשובה סופית: X=3 או X=0

4T - 8 + 3T = T^2 - 2T שווה ל: 7T -8 = T^2 - 2T העבר אגפים: T^2 - 9T - 8 = 0 פתור טרינום זה לקבלת T התשובות הן T=8 ו-T=1 מציאת X: 2 ב-X = T לכן 2 ב-X = 8 => X=3 או 2 ב-X = 1 => X=0

פתור מערכת משוואות מעריכיות עם שני נעלמים

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתור את המערכת: 2 ב-X + 4 ב-Y = 10, 4 ב-X + 16 ב-Y = 60

מערכת משוואותמשוואה מעריכיתטרינוםכינוייםפתרון

רמז: הגדר T=2 ב-X ו-K=4 ב-Y והשתמש בטרינומים ב-T ו-K

פתרון מלא

תשובה סופית: (X=1,Y=3/2) או (X=3, Y=1/2)

T = 2 ב-X K = 4 ב-Y אז: T + K = 10 T^2 + K^2 = 60 בודדים T = 10 - K מכניסים למשוואה השנייה: (10 - K)^2 + K^2 = 60 מפתח ומפשט: 100 - 20K + K^2 + K^2 = 60 2K^2 -20K +40=0 מחלק ב-2: K^2 -10K +20=0 מחשב שורשים K=8 או K=2 אם K=8 אז T=2 אם K=2 אז T=8 חזור ל-X,Y: K=4 ב-Y אם K=8 => 4 ב-Y=8 = 2^3 => 2Y=3 => Y=3/2 T=2 ב-X אם T=2 => 2 ב-X=2 => X=1 ומקרה שני: K=2 => 4 ב-Y=2=2^1 => 2Y=1 => Y=1/2 T=8 => 2 ב-X=8=2^3 => X=3

פתור מערכת משוואות מעריכיות עם חזקות של 3

רמת קושי: מאתגר

ממתין

פתור את המערכת: 3 ב-X + 3 ב-Y = 0, 9 ב-X + 10 ב-Y = -1

משוואות מעריכיותמערכותטרינוםבסיס 3

רמז: הכפל משוואות כדי לבטל משתנה, הגדר t=3 ב-X

פתרון מלא

תשובה סופית: (X=2, Y=-3) או (X=-1, Y=-1/9)

הכפל את המשוואה הראשונה ב-10: 10*3 ב-X + 10*3 ב-Y = 0 וזו ב-3: 3*9 ב-X + 3*10 ב-Y = -3 נחסר משוואה שנייה מהראשונה: 10*3 ב-X - 3*9 ב-X = 3 מכנה t = 3 ב-X 10t - 3t^2 = 3 מסדר: -3t^2 +10t -3 =0 נכפיל במינוס: 3t^2 -10t +3=0 נפתור טרינום: שורשים t=9 או t=1/3 אם t=9, 3 ב-X=9=3^2 => X=2 אם t=1/3=3^(-1) => X=-1 בהצבה נפתור ל-Y ל-t=9: 3 בריבוע + 3Y=0 => 9+3Y=0 => Y=-3 ל-t=1/3: 1/3 + 3Y=0 => 3Y = -1/3 => Y= -1/9

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון מערכת משוואות מעריכיות ב-X ו-Y

כיצד לפתור מערכת משוואות מעריכיות בעזרת הצבה של משתנים חדשים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערכי X ו-Y שמקיימים את המערכת

  2. נתון 1

    2 בחזקת X ועוד 4 בחזקת Y שווה ל-10

  3. נתון 2

    4 בחזקת X ועוד 16 בחזקת Y שווה ל-60

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    הגדר משתנים חדשים T ו-K עבור הביטויים המעריכיים והמר מערכת המשוואות למערכת אלגברית בת שני

  5. נוסחה

    נכתוב ייצוג מתמטי

  6. משוואה

    בודד את T מ-T + K = 10

    בודד את T מ-T + K = 10

  7. פישוט

    פתור את 2 K^2 - 20 K + 40 = 0 לחישוב K

    פתור את 2 K^2 - 20 K + 40 = 0 לחישוב K

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    הכנס לביטוי השני: (10 - K)^2 + K^2 = 60 פתח סוגריים ופשט

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

רשום את המשוואות

מה עושים

רשום את שתי המשוואות הנתונות במערכת

למה

זו מערכת המשוואות שעל פי דרכך לפתור אותה

2 בחזקת X + 4 בחזקת Y = 10 4 בחזקת X + 16 בחזקת Y = 60

2

זיהוי נתונים

הגדר את המשתנים החדשים

מה עושים

קבע T=2 ב-X ו-K=4 ב-Y

למה

להפוך ביטויים מורכבים למשוואות אלגבריות פשוטות

T = 2 ב-X K = 4 ב-Y

כך אפשר לכתוב חזקות גבוהות בצורה חכמה

3

בחירת שיטה

המר למשוואות בנעלמים T ו-K

מה עושים

תכתוב את המשוואות מחדש לפי המשתנים החדשים

למה

פתרון המשוואות יהפוך לפשוט יותר

T + K = 10 T^2 + K^2 = 60

4

בניית משוואה

בודד משתנה אחד

מה עושים

בודד את T מ-T + K = 10

למה

כדי להכניס לביטוי השני ולפתור

T = 10 - K

5

בניית משוואה

הכנס לטרינום ופתח

מה עושים

הכנס לביטוי השני: (10 - K)^2 + K^2 = 60 פתח סוגריים ופשט

למה

לקבל משוואה ריבועית ב-K

100 - 20K + K^2 + K^2 = 60 2 K^2 - 20 K + 40 = 0

6

פתרון

פתור משוואה ריבועית

מה עושים

פתור את 2 K^2 - 20 K + 40 = 0 לחישוב K

למה

לקבל את ערכי K

מחלק ב-2: K^2 - 10K + 20 = 0 שורשים: K=8 או K=2

פתרונות כלליים

  • פתור משוואה מעריכית ב-T: 4T - 8 + 3T = T^2 - 2T שווה ל: 7T -8 = T^2 - 2T העבר אגפים: T^2 - 9T - 8 = 0 פתור טרינום זה לקבלת T התשובות הן T=8 ו-T=1 מציאת X: 2 ב-X = T לכן 2 ב-X = 8 => X=3 או 2 ב-X = 1 => X=0
  • פתור מערכת משוואות מעריכיות עם שני נעלמים: T = 2 ב-X K = 4 ב-Y אז: T + K = 10 T^2 + K^2 = 60 בודדים T = 10 - K מכניסים למשוואה השנייה: (10 - K)^2 + K^2 = 60 מפתח ומפשט: 100 - 20K + K^2 + K^2 = 60 2K^2 -20K +40=0 מחלק ב-2: K^2 -10K +20=0 מחשב שורשים K=8 או K=2 אם K=8 אז T=2 אם K=2 אז T=8 חזור ל-X,Y: K=4 ב-Y אם K=8 => 4 ב-Y=8 = 2^3 => 2Y=3 => Y=3/2 T=2 ב-X אם T=2 => 2 ב-X=2 => X=1 ומקרה שני: K=2 => 4 ב-Y=2=2^1 => 2Y=1 => Y=1/2 T=8 => 2 ב-X=8=2^3 => X=3
  • פתור מערכת משוואות מעריכיות עם חזקות של 3: הכפל את המשוואה הראשונה ב-10: 10*3 ב-X + 10*3 ב-Y = 0 וזו ב-3: 3*9 ב-X + 3*10 ב-Y = -3 נחסר משוואה שנייה מהראשונה: 10*3 ב-X - 3*9 ב-X = 3 מכנה t = 3 ב-X 10t - 3t^2 = 3 מסדר: -3t^2 +10t -3 =0 נכפיל במינוס: 3t^2 -10t +3=0 נפתור טרינום: שורשים t=9 או t=1/3 אם t=9, 3 ב-X=9=3^2 => X=2 אם t=1/3=3^(-1) => X=-1 בהצבה נפתור ל-Y ל-t=9: 3 בריבוע + 3Y=0 => 9+3Y=0 => Y=-3 ל-t=1/3: 1/3 + 3Y=0 => 3Y = -1/3 => Y= -1/9
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.