וידאו · משוואה מעריכית
א7. משוואות מעריכיות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור המתמקד בפירוק משוואות למכפלות ומתן פתרונות תוך הבנה שלא מקבלים פתרונות דמיוניים בבגרות.
- ללמוד לפרק משוואות למכפלות ולפתור כל גורם בנפרד.
- להכיר כיצד להתמודד עם משוואות שאין להן פתרון במתמטיקה הריאלית.
- להבין את חשיבות סדר הכתיבה המתמטית להקראה וניקוד בבחינות.
- להשתמש במחשבון במודעות למגבלותיו לפתרון משוואות מעריכיות.
- פירוק משוואות למכפלות: משוואות שבנויות כמכפלות רבות המאופסנות ומאפשרות פתרון קל יותר ע"י פירוק לגורמים.
- הבנה לגבי פתרונות דמיוניים: לא מקבלים פתרונות עם מספרים מדומים בבגרות בתרגילים אלה, והמחשבון מדווח על פתרון דמיוני עם האות I.
תרגול קצר
פירוק משוואה פשוטה
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה (x-2)(x-3) = 0.
רמז: השתמש בכלל המכפלה לאפס כדי לפרק ולפתור כל גורם בנפרד.
פתרון מלא
תשובה סופית: x=2 או x=3
כדי שהמכפלה שווה 0, אחד הגורמים חייב להיות 0: x-2=0 או x-3=0.\nלכן, x=2 או x=3.
פתרון משוואה עם איפוס מכפלות
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה (x² - 5x + 6) * (x - 7) = 0.
רמז: פרק את הפולינום הראשון לגורמים והשתמש בכלל המכפלה לאפס.
פתרון מלא
תשובה סופית: x=2, 3, 7
x² - 5x + 6= (x-2)(x-3)\nלכן המשוואה היא (x-2)(x-3)(x-7)=0\nx-2=0 => x=2\nx-3=0 => x=3\nx-7=0 => x=7
זיהוי חוסר פתרון ממשי
רמת קושי: מאתגר
מצא את פתרון המשוואה 3ˣ = -6.
רמז: בדוק אם קיימים פתרונות ממשיים; זכור שהערך 3ˣ תמיד חיובי.
פתרון מלא
תשובה סופית: אין פתרונות ממשיים
3ˣ = -6 לא יכול להתקיים כי 3 בחזקת כל מספר ממשי הוא חיובי תמיד. לכן אין פתרונות ממשיים.
פתור משוואה מעריכית פשוטה
רמת קושי: בגרות
פתור את המשוואה 3ˣ = 6.
רמז: קח לוגריתם בשני האגפים.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = לוג 3 6
3ˣ = 6\nלוקחים לוגריתם על בסיס 3: x = לוג בסיס 3 של 6.
דרך הפתרון
פתרון משוואה מפורקת למכפלות
כיצד לפתור משוואה כאשר היא מחולקת למכפלות המאופסנות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הערכים של x שמקיימים את המשוואה
- נתון 1
נתון 1
המשוואה (x-2)(x-3) = 0 - רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בכלל המכפלה לאפס: פרק את המשוואה לגורמים ותציב כל גורם ל-0 בנפרד.
- נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
- משוואה
יש לנו את המשוואה (x-2)(x-3) = 0.
יש לנו את המשוואה (x-2)(x-3) = 0.
- פישוט
פתור x-2=0 ו x-3=0, תקבל x=2 ו x=3.
פתור x-2=0 ו x-3=0, תקבל x=2 ו x=3.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
x=2 או x=3 הם הפתרונות הסופיים.
- בדיקה
בדיקה קצרה
- האם פירקת את המשוואה נכון?
- האם כתבת כל גורם כאילו הוא שווה 0?
- זהירות: לא לפרק למכפלות לפני הפתרון.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
המשוואה המוצגת
זיהוי נתונים
המשוואה המוצגת
מה עושים
יש לנו את המשוואה (x-2)(x-3) = 0.
למה
זו משוואה שבה מכפלה שווה 0.
המשוואה מורכבת משני גורמים במכפלה שמצומדת לאפס.
2בחירת שיטה
השתמש בכלל המכפלה לאפס
בחירת שיטה
השתמש בכלל המכפלה לאפס
מה עושים
אם מכפלה שווה 0, לפחות אחד הגורמים שווה 0.
למה
כך אפשר לפרק משוואה אחת למספר משוואות פשוטות.
נקבל משוואות ברמה פשוטה היכולות להיפתר בנפרד.
תמיד אפשר לפרק מילולית למספר משוואות.
3בניית משוואה
כתוב את המשוואות הנפרדות
בניית משוואה
כתוב את המשוואות הנפרדות
מה עושים
קבע ש x-2=0 או x-3=0.
למה
כי לפחות אחד הגורמים חייב להיות 0 כדי שהמכפלה תהיה 0.
המשוואה המקורית מחולקת לשתיים: x-2=0 ו x-3=0.
ודא לכתוב באופן ברור כל משוואה בנפרד.
4פתרון
פתור כל משוואה לבדה
פתרון
פתור כל משוואה לבדה
מה עושים
פתור x-2=0 ו x-3=0, תקבל x=2 ו x=3.
למה
משוואה פשוטה לפתור על ידי הוספת 2 או 3 לשני האגפים.
הפתרונות הם נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה X.
כשיש משוואת פשוטה, העבר אגפים כדי למצוא x.
5תשובה
רשום את פתרונות המשוואה
תשובה
רשום את פתרונות המשוואה
מה עושים
x=2 או x=3 הם הפתרונות הסופיים.
למה
כי על פי חוק המכפלה, אלו הערכים שמאפסים את המשוואה.
הפתרון הסופי הוא האיחוד של כל הפתרונות מהמשוואות המשניות.
רשום את הפתרונות בניסוח ברור ובהפרדה.
פתרונות כלליים
- פירוק משוואה פשוטה: כדי שהמכפלה שווה 0, אחד הגורמים חייב להיות 0: x-2=0 או x-3=0.\nלכן, x=2 או x=3.
- פתרון משוואה עם איפוס מכפלות: x² - 5x + 6= (x-2)(x-3)\nלכן המשוואה היא (x-2)(x-3)(x-7)=0\nx-2=0 => x=2\nx-3=0 => x=3\nx-7=0 => x=7
- זיהוי חוסר פתרון ממשי: 3ˣ = -6 לא יכול להתקיים כי 3 בחזקת כל מספר ממשי הוא חיובי תמיד. לכן אין פתרונות ממשיים.
- פתור משוואה מעריכית פשוטה: 3ˣ = 6\nלוקחים לוגריתם על בסיס 3: x = לוג בסיס 3 של 6.