א8. משוואות מעריכיות

תשובה סופית: x = -4

2 בחזקת x + 8 = 16<br>מכיוון ש-16 = 2 בחזקת 4, ניתן לכתוב: 2 בחזקת x + 8 = 2 בחזקת 4.<br>הרי הבסיסים שווים, משווים בין המעריכים: x + 8 = 4.<br>מעבירים אגפים: x = 4 - 8 = -4.

תשובה סופית: x = 2

8 = 2 בחזקת 3 ו-4 = 2 בחזקת 2, לכן:<br>8^(x-2) = (2^3)^(x-2) = 2^{3x - 6}<br>4^{4 - 2x} = (2^2)^{4 - 2x} = 2^{8 - 4x}<br> המשוואה היא: 2^{3x - 6} = 2^{8 - 4x}<br>שווה מעריכים: 3x - 6 = 8 - 4x<br>7x = 14 <br>x = 2

תשובה סופית: x = 3/2 או x = -1/2

קרא t = 9^x<br>81^x = (9^2)^x = 9^{2x} = t^2<br>המשוואה היא 3 t^2 - 82 t + 27 = 0<br>נפתור משוואה ריבועית:<br>Δ = 82^2 - 4*3*27 = 6724 = 82^2 - 324 = 6400<br>שורש Δ = 80<br>t = (82 ± 80) / (2*3)<br>t1 = (82 + 80) /6 = 162/6=27<br>t2 = (82 - 80)/6=2/6=1/3<br>תחליף חזרה:<br>9^x = 27 ⇒ 9^x= 3^3 ⇒ (3^2)^x=3^3 ⇒ 3^{2x}=3^3 ⇒ 2x=3 ⇒ x=3/2<br>או<br>9^x=1/3 = 3^{-1} ⇒ 3^{2x}=3^{-1} ⇒ 2x=-1 ⇒ x=-1/2

תשובה סופית: פתרון נומרי נדרש, לא סופי בשיעור זה

קרא t = 2^x<br>4^x = (2^2)^x = t^2<br>המשוואה היא t^2 + 3/t - 2 = 1 ⇒ t^2 + 3/t = 3<br>נכפיל ב-t: t^3 + 3 = 3t<br>נערוך: t^3 - 3t + 3 = 0<br>פתרון המשוואה אינו טריוויאלי - כאן יש צורך בטכניקות מתקדמות או שימוש במחשבון. ראוי לבחון פתרון נומרי או הערכה.