וידאו · חקירה מלאה של פונקציה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ב1. חקירת פונקצית מנה עם שורש
ב2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך
ג1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים
ג2. חקירת פונקצית מנה תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים
ג3. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה
ג4. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר
ד1. חקירת פונקצית מנה עם שורש
ד2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך
מצא נקודות קיצון לפונקציה
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה y = (x^2 - 4x - 5) / (x - 2). חשב את נקודות הקיצון של הפונקציה.
רמז: חשב את הנגזרת y' בעזרת כלל המנה, השווה לאפס ופתור את המשוואה.
תשובה סופית: אין נקודות קיצון ממשיות.
נחשב את נגזרת הפונקציה לפי כלל המנה: אם u = x^2 - 4x - 5, ו-v = x - 2, אז u' = 2x - 4, v' = 1. נחשב y' = (u'v - uv') / v^2 = ((2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x - 5)(1)) / (x - 2)^2. מחשבים ומפשטים את המונה: (2x - 4)(x - 2) = 2x^2 - 4x - 4x + 8 = 2x^2 - 8x + 8. לכן המונה הוא 2x^2 - 8x + 8 - (x^2 - 4x -5) = 2x^2 - 8x + 8 - x^2 + 4x + 5 = x^2 - 4x + 13. משווים לנאפס: x^2 - 4x + 13 = 0. הפונקציה לא שווה לאפס כי הדיסקרימיננט של המשוואה הוא שלילי (16 - 52 < 0), לכן אין נקודות קיצון ממשיות.
איתור נקודות קיצון לפונקציה y = (x² - 4x -5) / (x - 2)
y = (x² -4x -5) / (x - 2)לחילוץ נגזרת הפונקציה ע"י כלל המנה, למצוא אפסי נגזרת ולפתור משוואה.
חשב נגזרת של המונה והמחנה בנפרד.
פשט את המונה y' והצב שווה לאפס.
מסקנה: אין נקודות קיצון ממשיות.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נתונה פונקצית מנה y = (x² -4x -5) / (x - 2).
למה
כדי לחשב נגזרת יש להכיר את הפונקציה.
הפונקציה היא מנה של פולינומים.
בחירת שיטה
מה עושים
נחשב y' על פי כלל המנה u ו-v.
למה
הנגזרת בדידה כתלות במונה ומחנה הפונקציה.
נשתמש בנוסחה y' = (u'v - uv') / v².
נוסחה / הצבה
(u/v)' = (u' * v - u * v') / v^2(u/v)' = (u'v - uv') / v^2(u'v - uv')/(v^2)להקפיד על סדר החישוב.
בניית משוואה
מה עושים
חשב נגזרת של המונה והמחנה בנפרד.
למה
נדרש u' ו-v' בשביל נוסחת כלל המנה.
u = x² - 4x -5, לכן u' = 2x - 4. v = x - 2, לכן v' = 1.
לחשב כל נגזרת בנפרד.
בניית משוואה
מה עושים
נחשב y' לפי הפורמולה.
למה
ניתן לקבל ביטוי לנגזרת הפונקציה.
y' = ((2x -4)(x - 2) - (x² -4x -5)(1)) / (x - 2)^2
לערוך חישוב מדויק של המונה.
פתרון
מה עושים
פשט את המונה y' והצב שווה לאפס.
למה
נקודות קיצון מתקבלות כאשר הנגזרת שווה לאפס.
פיתחנו, קיבלנו x² - 4x + 13 = 0, שאין לה פתרונות ממשיים.
בדוק את הדיסקרימיננטה כדי לקבוע פתרונות.
תשובה
מה עושים
מסקנה: אין נקודות קיצון ממשיות.
למה
משוואת הנגזרת שווה לאפס אין פתרון ממשי, לפיכך אין נקודות קיצון אמיתיות.
הפונקציה לא מקבלת נקודות קיצון בתחום הממשי.