MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חקירה מלאה של פונקציה

ב1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
וידאו

א1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים

וידאו

א2. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה

וידאו

א3. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר

וידאו

ב1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

וידאו

ב2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

וידאו

ג1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים

וידאו

ג2. חקירת פונקצית מנה תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים

וידאו

ג3. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה

וידאו

ג4. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר

וידאו

ד1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

וידאו

ד2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

סיכום שיעור

  • בחינה מעמיקה של פונקציה המשלבת מנה ושורש, הכוללת חקירת תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, וסימון התנהגות הגבול של הפונקציה ביעילות.
  • לחקור תחום הגדרת פונקציה עם מנה ושורש
  • לחשב גבולות מהצדדים ולזהות אסימפטוטות אנכיות
  • לחשב גבולות באינסוף ולזהות אסימפטוטות אופקיות
  • לזהות ולהימנע מטעויות נפוצות בכתיבת ביטויים מתמטיים
  • להבין את חשיבות סימון הגבולות בצורה נכונה ולהשתמש בטכניקות הערכה כמו שימוש בערכי גבול קרובים
  • הקדמה וחקירת הפונקציה: הצגת פונקציה הכוללת מנה ושורש והגדרת הבעיה.
  • אסימפטוטות אנכיות: חישוב גבולות שבין התחומים סביב נקודות הבעייתיות x=2 ו-x=-2.
  • אסימפטוטות אופקיות וגבולות באינסוף: בחינת התנהגות הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף ולהפך.

תרגול קצר

חשב את תחום ההגדרה של הפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = x² - 4 חלקי השורש של x² - 4. חשב את תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום ההגדרהשורשמנה

רמז: השורש בקבוע במחנה מחייב ביטוי מתחת לשורש להיות גדול או שווה לאפס, וכן המחנה לא יכול להיות אפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: (-∞, -2) ∪ (2, ∞)

תחום ההגדרה: x² - 4 ≥ 0 ומכנה ≠ 0. נפתור את אי השוויון: (x - 2)(x + 2) ≥ 0 → x ≤ -2 או x ≥ 2. בנוסף, x² - 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±2. אז תחום ההגדרה הוא: (-∞, -2) ∪ (2, ∞)

חשב את הגבולות בנקודות x=2 ו-x=-2

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את הגבול מימין ומשמאל של הפונקציה f(x) בנקודות x = 2 ו x = -2, והסבר את משמעות האסימפטוטות האנכיות.

גבולותאסימפטוטה אנכיתמנהשורש

רמז: בדוק את התנהגות המונה והמכנה בקרבה לנקודות הללו. זכור שכזוז החישוב של השורש של x בריבוע הוא ±x תלוי במחנה.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=2 ו-x=-2 הן אסימפטוטות אנכיות כאשר הגבולות שואפים לאינסוף חיובי או שלילי.

למשל, עבור x→2+: נבדוק את הפונקציה מתקרבת מאינסוף חיובי/שלילי לפי הסימנים במונה ובמכנה. לדוגמה, lim_{x→2^+} f(x) = +∞. כך גם עבור שאר הגבולות. מסקנה: x=2 ו-x=-2 הן אסימפטוטות אנכיות.

חשב את הגבולות ב-x שואף לאינסוף

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את הגבולות lim x→+∞ f(x) ו-lim x→-∞ f(x) של הפונקציה f(x)= (x²-4)/ √(x² -4) והסבר את משמעות האסימפטוטות האופקיות.

גבולות באינסוףאסימפטוטה אופקיתמנהשורש

רמז: בעת x גדול מאוד, הביטויים הזניחים נמחקים בהשוואה ל-x². יש לזכור שורש של x² שווה ל±x בהתאם לסימן x.

פתרון מלא

תשובה סופית: הפונקציה שואפת לאינסוף גם ב-x→+∞ וגם ב-x→-∞ ואין אסימפטוטה אופקית קבועה.

lim x→+∞ f(x) ≈ x² / x = x → +∞. אך בהסתכלות מדויקת יותר עם ±: √(x²) = x עבור x>0. לכן f(x) ≈ (x² -4) / x = x - 4/x → +∞. ל-x→-∞, √(x²) = -x. לכן f(x) ≈ (x² -4)/ (-x) = -x + 4/x → +∞. מסקנה: הפונקציה מתקרבת לאינסוף בחזיתות שונות, ואין אסימפטוטה אופקית קבועה.

חקירת פונקציה עם מנה ושורש - קביעת אסימפטוטות

רמת קושי: בגרות

ממתין

בחן את הפונקציה f(x) = (x²-4)/√(x²-4), מצא את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות האנכיות והאופקיות, והסבר את התנהגות הפונקציה סביב עתיקות אלו.

בחינת פונקציהאסימפטוטותתחום הגדרהמנהשורש

רמז: בדוק איפה הביטוי תחת השורש חיובי, מחשב גבולות באינסוף ובסמוך לערכים הבעייתיים x=2 ו-x=-2.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום הגדרה: (-∞,-2) ∪ (2,∞) אסימפטוטות אנכיות ב-x=2 ו-x=-2, ללא אסימפטוטות אופקיות קבועות.

תחום ההגדרה הוא: (-∞,-2) ∪ (2,∞) כי המחנה שורש של x²-4 חייב להיות חיובי ושונה מאפס. אסימפטוטות אנכיות ב-x=2 ו-x=-2, החישוב דרך הגבולות משני הצדדים מראה שהתפקוד שואף לאינסוף חיובי או שלילי. גבולות ב-x→+∞ ו-x→-∞ מראים שהתפקוד שואף לאינסוף. הפונקציה אינה מתקרבת לערך קבוע ולכן אין אסימפטוטות אופקיות קבועות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת אסימפטוטות פונקציית מנה עם שורש

מתוך התרגילים בנושא חקירת פונקציה רמת 4 יח"ל

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא תחום ההגדרה / אסימפטוטות אנכיות / אסימפטוטות אופקיות

  2. נתון 1

    נתון 1

    f(x) = (x² - 4) חלקי שורש של (x² - 4)
  3. נתון 2

    הפונקציה כוללת מנה ושורש

  4. נתון 3

    נתון 3

    יש לבדוק גבולות בנקודות x=±2 ובאינסוף
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לחקור את תחום ההגדרה על ידי פתרון אי שוויון של הביטוי מתחת לשורש, לחשב גבולות נקודתיים לגלות

  6. נוסחה

    נכתוב ייצוג מתמטי

  7. משוואה

    חשב את הגבול מימין ומשמאל בנקודות x=2 ו-x=-2

    חשב את הגבול מימין ומשמאל בנקודות x=2 ו-x=-2

  8. פישוט

    חשב את הגבולות כאשר x שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף

    חשב את הגבולות כאשר x שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הפונקציה והביטויים שלה

מה עושים

הבן את הפונקציה שהנתונה ואת המבנה שלה

למה

חשוב לזהות את הנקודות הבעייתיות של הפונקציה על בסיס הביטוי במונה ובמחנה

הפונקציה היא מנה עם שורש במחנה, f(x) = (x² - 4) / √(x² - 4)

2

זיהוי נתונים

נקודות להשפעה על תחום ההגדרה

מה עושים

בדוק איפה הביטוי תחת השורש גדול או שווה לאפס

למה

המחנה חייב להיות חיובי ושונה מאפס כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת

נפתור: x² - 4 ≥ 0 ולמנוע שווה ל-0 במכנה

3

בחירת שיטה

פתור את אי השוויון לגבי תחום הגדרה

מה עושים

פירוק לשברים ופתרון אי השוויון

למה

מזהים אוסף ערכי x בהם הפונקציה מוגדרת

(x-2)(x+2) ≥ 0 → x ≤ -2 או x ≥ 2, ו-x ≠ ±2

נוסחה / הצבה

תחום ההגדרה הוא כל x קטן או שווה ל- -2 או גדול או שווה ל-2 בלי לכלול את הנקודות ±2תחום ההגדרה = (-∞, -2) ∪ (2, ∞)(-, -2) (2, )

שים לב למנוע חלוקה באפס

4

בניית משוואה

חישוב הגבולות בנקודות הבעיתיות

מה עושים

חשב את הגבול מימין ומשמאל בנקודות x=2 ו-x=-2

למה

לזהות אסימפטוטות אנכיות על ידי התבוננות בערכי הגבול

לדוגמה lim x→2+ f(x) → +∞ או -∞

בדוק ערכי פוקוס קטנים סביב הנקודות

5

פתרון

חישוב הגבולות באינסוף

מה עושים

חשב את הגבולות כאשר x שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף

למה

הבנת התנהגות הפונקציה בטווחים רחבים לזיהוי אסימפטוטות אופקיות

lim x→+∞ f(x) נחשב ו-lim x→-∞ f(x) נחשב

שימוש בטכניקת השוואת מנה ושורש

6

תשובה

סיכום האסימפטוטות ותחום ההגדרה

מה עושים

סכם את התחום, את האסימפטוטות האנכיות והאופקיות

למה

לתת תמונה מלאה על התנהגות הפונקציה

תחום ההגדרה הוא (-∞,-2) ∪ (2,∞), אסימפטוטות אנכיות ב-x= -2 ו-x= 2, אין אסימפטוטה אופקית קבועה.

פתרונות כלליים

  • חשב את תחום ההגדרה של הפונקציה: תחום ההגדרה: x² - 4 ≥ 0 ומכנה ≠ 0. נפתור את אי השוויון: (x - 2)(x + 2) ≥ 0 → x ≤ -2 או x ≥ 2. בנוסף, x² - 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±2. אז תחום ההגדרה הוא: (-∞, -2) ∪ (2, ∞)
  • חשב את הגבולות בנקודות x=2 ו-x=-2: למשל, עבור x→2+: נבדוק את הפונקציה מתקרבת מאינסוף חיובי/שלילי לפי הסימנים במונה ובמכנה. לדוגמה, lim_{x→2^+} f(x) = +∞. כך גם עבור שאר הגבולות. מסקנה: x=2 ו-x=-2 הן אסימפטוטות אנכיות.
  • חשב את הגבולות ב-x שואף לאינסוף: lim x→+∞ f(x) ≈ x² / x = x → +∞. אך בהסתכלות מדויקת יותר עם ±: √(x²) = x עבור x>0. לכן f(x) ≈ (x² -4) / x = x - 4/x → +∞. ל-x→-∞, √(x²) = -x. לכן f(x) ≈ (x² -4)/ (-x) = -x + 4/x → +∞. מסקנה: הפונקציה מתקרבת לאינסוף בחזיתות שונות, ואין אסימפטוטה אופקית קבועה.
  • חקירת פונקציה עם מנה ושורש - קביעת אסימפטוטות: תחום ההגדרה הוא: (-∞,-2) ∪ (2,∞) כי המחנה שורש של x²-4 חייב להיות חיובי ושונה מאפס. אסימפטוטות אנכיות ב-x=2 ו-x=-2, החישוב דרך הגבולות משני הצדדים מראה שהתפקוד שואף לאינסוף חיובי או שלילי. גבולות ב-x→+∞ ו-x→-∞ מראים שהתפקוד שואף לאינסוף. הפונקציה אינה מתקרבת לערך קבוע ולכן אין אסימפטוטות אופקיות קבועות.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.