MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חקירה מלאה של פונקציה

ב2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
וידאו

א1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים

וידאו

א2. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה

וידאו

א3. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר

וידאו

ב1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

וידאו

ב2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

וידאו

ג1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים

וידאו

ג2. חקירת פונקצית מנה תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים

וידאו

ג3. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה

וידאו

ג4. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר

וידאו

ד1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

וידאו

ד2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

סיכום שיעור

  • המשך חקירה מלאה של פונקציית מנה המכילה שורש, כולל התייחסות לחיתוכים עם הצירים, גזירה בחלקים עם שורש, מציאת נקודות קיצון ובדיקת תחום ההגדרה.
  • להבין כיצד לזהות חיתוכים עם הצירים בפונקציית מנה עם שורש
  • לגרום לגזירה נכונה של פונקציית מנה עם שורש וחישוב של נגזרות חלקיות
  • למצוא נקודות קיצון על ידי פתרון של משוואות נגזרת שווה לאפס
  • להבין את חשיבות בדיקת תחום ההגדרה וההיגיון בתוצאות
  • לשפר כישורי בדיקה על ידי הצבה ובדיקה עם מחשבון
  • לשפר הבנה של התנהגות גרף הפונקציה ופרשנות סימנים בקדימת הנגזרת
  • חיתוכים עם הצירים: בחינת חיתוך הפונקציה עם הצירים X ו-Y, הסבר מדוע אין חיתוך עם ציר Y ובעיה עם חיתוך ציר X בגלל תחום ההגדרה של השורש.
  • גזירת פונקציית מנה עם שורש: הצגה של פונקציה כמנה F/G עם שורש, חישוב נגזרת לפי כלל המנה תוך פירוק צלעות ועבודה אטנטיבית עם השורשים.
  • מציאת נקודות קיצון ובדיקות: פתרון משוואות בהן הנגזרת שווה לאפס, בדיקת תחום ההגדרה והצבת ערכים בנגזרת ובמקור בשביל בקרת תוצאות ויצירת תובנות לגבי הקיצונים.

תרגול קצר

חיתוך פונקציה עם ציר X

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקציה הכוללת שורש במונה ומכנה. בדוק האם קיימים חיתוכים עם ציר X והסבר למה או למה לא.

פונקציהחיתוך ציריםשורש

רמז: הפוך את y לאפס, ונסה למצוא ערכי x כך שהפונקציה תקבל ערך אפס. בדוק תחום הגדרת השורש.

פתרון מלא

תשובה סופית: אין חיתוך עם ציר X מפני שלא מתקיים y=0 בתחום ההגדרה.

משווים y לאפס ומוצאים שאין פתרון כי שורש במכנה גורם לאי הגדרה עבור x=0 ולערך שלילי מתחת לשורש במונה.

מציאת נקודת קיצון של פונקציית מנה עם שורש

רמת קושי: בינוני

ממתין

נוסח את הפונקציה כמנה F/G כאשר F ו-G מכילים שורשים. גזור את הפונקציה, פשט את הביטוי, ומצא נקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס.

נגזרתפונקציית מנהנקודת קיצוןשורש

רמז: השתמש בכלל המנה לנגזרת. כתוב את F ו-G במפורש, גזור כל אחד, והצע את הביטוי לנגזרת. פתר משוואה לנגזרת שווה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת קיצון ב-x = -4.

F הוא המונה עם שורש, G הוא המכנה. מחשבים F' ו-G', משתמשים בכלל המנה (F'G-FG')/G². מפשטים ביטוי עם שורשים. פותרים את המשוואה שמתקבלת לאפס ולקבל x = -4.

ניתוח תנועה של פונקציה עם נגזרת מורכבת

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה פונקציה עם מנה הכוללת שורש. קבע את תחומי העלייה והירידה על פי סימן הנגזרת, תוך התייחסות לסימטוטות ותחום ההגדרה.

קצב שינויסימנים בנגזרתסימטוטים

רמז: חשב את נגזרת הפונקציה, זיהה נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת או אינה מוגדרת. השתמש בבדיקת סימנים בקטעים שהוגדרו על פי תחום ההגדרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: הפונקציה עולה באזור מסוים ויורדת באזור אחר, עם נקודות קיצון סביב x=-4 ומעלה, ומגבלות סביב x=0.

הצבה בערכים בין נקודות קריטיות ומחוץ לתחום ההגדרה מראה איפה הנגזרת חיובית (עלייה) ואיפה שלילית (ירידה). יש התייחסות לסימטוטות סביב x=0 ולגבולות פונקציה.

הוכחת אי קיום חיתוך עם ציר Y

רמת קושי: בגרות

ממתין

הראה מדוע פונקציה עם שורש במכנה לא חותכת את ציר Y

חיתוך ציריםתחום הגדרהשורש

רמז: בדוק את תחום ההגדרה של הפונקציה עבור x=0 והסק מסקנות על פי ההגדרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: אין חיתוך עם ציר Y מפני שהפונקציה אינה מוגדרת עבור x=0.

לפי תחום ההגדרה שורש שלילי עבור x=0 ולכן הפונקציה לא מוגדרת שם, לכן אין חיתוך עם ציר Y.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב נקודת קיצון לפונקציית מנה עם שורש

שלבים למציאת נקודת הקיצון של הפונקציה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא נקודות x שבהן הנגזרת שווה לאפס / מיקום נקודות הקיצון

  2. נתון 1

    פונקציה כתובה כמנה F(x)/G(x) הכוללת שורשים

  3. נתון 2

    F(x) ו-G(x) ידועים ומכילים שורשים

  4. נתון 3

    תחום ההגדרה ידוע מראש (אין שורשים שליליים)

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נחשב נגזרת לפי כלל המנה, נפשט ונשווה לאפס לפתרון הנקודות הקריטיות.

  6. נוסחה

    הצב את הנגזרת כשווה לאפס וסדר ביטויים

    F'(x) * G(x) - F(x) * G'(x) = 0F'G - FG' = 0
  7. משוואה

    פשט את המשוואה והוצא ערכי x מתאימים

    פשט את המשוואה והוצא ערכי x מתאימים

  8. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

מה רוצים למצוא?

מה עושים

נקודות קיצון של הפונקציה לפי נגזרת שווה לאפס

למה

נקודות אלו מצביעות על מקסימום או מינימום

2

זיהוי נתונים

הפונקציה ומרכיביה

מה עושים

כתוב F(x) ו-G(x) הכוללים שורשים במפורש

למה

צריך לגזור את שני החלקים בנפרד

לדוגמה, F(x) = שורש מ- x בריבוע מינוס 4; G(x) = x

3

זיהוי נתונים

תחום ההגדרה

מה עושים

בדוק ש-x נמצא בתחום שבו השורש מוגדר

למה

כדי למנוע פתרונות לא הגיוניים

4

בחירת שיטה

השתמש בכלל המנה

מה עושים

חשב נגזרת f לפי כלל המנה: (F'G - FG') / G²

למה

כדי למצוא נקודות קיצון יש לחשב את הנגזרת

נוסחה / הצבה

F'(x) * G(x) - F(x) * G'(x) = 0F'G - FG' = 0

רק מונה שווה לאפס לפתרון נקודות קיצון

5

בניית משוואה

רשום את משוואת הנגזרת לאפס

מה עושים

הצב את הנגזרת כשווה לאפס וסדר ביטויים

למה

כדי לפתור עבור x נקודת הקיצון

נוסחה / הצבה

F'(x) * G(x) - F(x) * G'(x) = 0F'G - FG' = 0
6

פתרון

פתור את משוואת הנגזרת

מה עושים

פשט את המשוואה והוצא ערכי x מתאימים

למה

פתרונות אלו הם נקודות הקיצון הפוטנציאליות

לדוגמה, מתקבל x = -4

ודא שהפתרון בתוך תחום ההגדרה

פתרונות כלליים

  • חיתוך פונקציה עם ציר X: משווים y לאפס ומוצאים שאין פתרון כי שורש במכנה גורם לאי הגדרה עבור x=0 ולערך שלילי מתחת לשורש במונה.
  • מציאת נקודת קיצון של פונקציית מנה עם שורש: F הוא המונה עם שורש, G הוא המכנה. מחשבים F' ו-G', משתמשים בכלל המנה (F'G-FG')/G². מפשטים ביטוי עם שורשים. פותרים את המשוואה שמתקבלת לאפס ולקבל x = -4.
  • ניתוח תנועה של פונקציה עם נגזרת מורכבת: הצבה בערכים בין נקודות קריטיות ומחוץ לתחום ההגדרה מראה איפה הנגזרת חיובית (עלייה) ואיפה שלילית (ירידה). יש התייחסות לסימטוטות סביב x=0 ולגבולות פונקציה.
  • הוכחת אי קיום חיתוך עם ציר Y: לפי תחום ההגדרה שורש שלילי עבור x=0 ולכן הפונקציה לא מוגדרת שם, לכן אין חיתוך עם ציר Y.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.