בשיעור זה חוקרים פונקציית מנה הכוללת חקירת התחום, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, והנקודות בהן הפונקציה חותכת את צירי x ו-y. התלמידים מתאמנים בזיהוי אסימפטוטות באמצעות גבולות ומתן נימוקים לשיטות החישוב, וכן משפרים את מיומנויות ההצבה והמחשוב.
להבין ולהגדיר את תחום ההגדרה של פונקצית מנה
לחפש ולאפיין אסימפטוטות אנכיות באמצעות בדיקת גבולות בנקודות אי-הגדרה
לאפיין אסימפטוטות אופקיות באמצעות חישוב גבולות באינסוף ובינוס אינסוף
לחשב נקודות חיתוך עם צירים באמצעות הצבת ערכים בפונקציה ובמציאת שורשי המונה והמחנה
ללמוד להנמק את התוצאות המתמטיות תוך שימוש במושגי חזקות וזניחויות
להשתמש במחשבונים להשוואת ערכים ולהמחשת הבעיות הנלמדות
תחום ההגדרה ואי־ההתאמה: קביעת נקודות בהן הפונקציה אינה מוגדרת, זיהוי נקודות אסימפטוטיות והצבת עוגנים ברשת הצירים כדי למפות את האזורים השונים.
אסימפטוטות אנכיות ואופקיות: חישוב גבולות הפונקציה כאשר המשתנה מתקרב לנקודות אסימפטוטיות ולכיווני אינסוף, ניתוח התנהגות הפונקציה בסביבה זו.
חיתוכים עם צירי x ו-y: מציאת נקודות החיתוך של הפונקציה עם צירי x ו-y על ידי הצבת x=0 להצגת נקודת חיתוך עם ציר y, ו-y=0 למציאת נקודות חיתוך עם ציר x.

תרגול קצר

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

ינתן פונקציית מנה f(x) = (x² - x - 6) / (x² - 4). מצא את תחום ההגדרה של f.

תחום ההגדרהפונקציית מנה

רמז: פונקציה שאינה מוגדרת כאשר המחנה שווה לאפס, מצא את שורשי המחנה.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל x שונה מ-2 ו-(-2)

נמצא את מקטעי ההגדרה על ידי פתרון המשוואה x² - 4 = 0. כלומר, (x-2)(x+2) = 0 לכן x = 2 או x = -2. הפונקציה אינה מוגדרת בנקודות אלו, ולכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים חוץ מ-2 ו-(-2).

חשב את האסימפטוטות האנכיות

רמת קושי: בינוני

ממתין

הפונקציה הנתונה היא f(x) = (x² - 1) / (x² - 4). מצא את כל האסימפטוטות האנכיות שלה.

אסימפטוטות אנכיותפונקציית מנה

רמז: אסימפטוטות אנכיות הן נקודות בהן המחנה מתאפס והפונקציה אינה מוגדרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: אסימפטוטות אנכיות: x=2 ו-x=-2

נחשב מתי המחנה מתאפס: x² - 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = 2 או x = -2. לכן, האסימפטוטות האנכיות הן בקווים x=2 ו-x=-2.

מצא את האסימפטוטה האופקית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

לגבי הפונקציה f(x) = (3x + 1) / (x² + 5), חשב את האסימפטוטה האופקית שלה.

אסימפטוטות אופקיותפונקציית מנה

רמז: שווה לבחון התנהגות הפונקציה כשה-x שואף לאינסוף, השתמש בחזקות של המונה והמחנה.

פתרון מלא

תשובה סופית: אסימפטוטה אופקית: y=0

דרגת המחנה היא 2 (x²), דרגת המונה היא 1 (x). מאחר שדרגת המחנה גבוהה מדרגת המונה, האסימפטוטה האופקית היא y=0.

חקירת תחום הגדרה, אסימפטוטות וחתכים לצירים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = (x² - 4x + 3) / (x² - 5x + 6). א. מצא את תחום ההגדרה. ב. מצא את האסימפטוטות האנכיות. ג. חשב את האסימפטוטה האופקית. ד. מצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-x ועם ציר ה-y.

תחום הגדרהאסימפטוטותחיתוך עם הציריםפונקציית מנה

רמז: פירק את המונה והמחנה לפקטורים. אל תשכח לבדוק איפה הפונקציה לא מוגדרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: א. תחום ההגדרה: x ≠ 2,3 ב. אסימפטוטות אנכיות: x=2, x=3 ג. אסימפטוטה אופקית: y=1 ד. חיתוך עם ציר y: (0,0.5), חיתוך עם ציר x: (1,0)

א. המחנה מתאפס כאשר x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 ⇒ x=2,3. תחום ההגדרה הוא כל x מלבד 2 ו-3. ב. נקודות אסימפטוטה אנכית: x=2 ו-x=3. ג. דרגת המחנה והמונה שווה (2). מקדמי החזקות הגבוהים הם 1 ו-1. לכן האסימפטוטה האופקית היא y=1. ד. חיתוך עם ציר y: הצב x=0, f(0) = (0 - 0 + 3)/(0 - 0 + 6) = 3/6=0.5. חיתוך עם ציר x: פתרון המונה f(x)=0 ⇒ x² -4x +3=0 ⇒ (x-3)(x-1)=0 ⇒ x=1,3. מכיוון ש-x=3 מחוץ לתחום ההגדרה, נקודה חוקית רק x=1. נקודת חיתוך: (1,0).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת אסימפטוטה אנכית ודומיננטיות בתחום הגדרה

דוגמה: מציאת אסימפטוטות אנכיות והגדרת תחום

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה / אסימפטוטות אנכיות
נתון 1
נתון 1
פונקציה: f(x) = (x² - 1) / (x² - 4)
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא איפה הפונקציה אינה מוגדרת ונחשב את הגבולות סביב נקודות אלו כדי לאפיין אסימפטוטות אנכיות.
נוסחה
פונקציה נתונה עם מונה x² - 1 ומחנה x² - 4.
f(x) = (x^2 - 1) / (x^2 - 4)f(x) = (x² - 1) / (x² - 4)f(x) = (x^2 - 1)/(x^2 - 4)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
x=2 ו- x=-2 הם נקודות אי-הגדרה.
x=2 ו- x=-2 הם נקודות אי-הגדרה.
תוצאה
מסיימים בתשובה
תחום ההגדרה: כל x פרט ל-2 ו- -2.
בדיקה
בדיקה קצרה
- זיהוי שורשי המחנה
- הבנת חוסר ההגדרה של הפונקציה בנקודות אלו
- זהירות: עקיפת חישוב הגבולות משני הצדדים

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

פונקצית המנה

מה עושים

פונקציה נתונה עם מונה x² - 1 ומחנה x² - 4.

למה

מגדירים את הפונקציה שנחקור.

נוסחה / הצבה

f(x) = (x^2 - 1) / (x^2 - 4)f(x) = (x² - 1) / (x² - 4)f(x) = (x^2 - 1)/(x^2 - 4)

בחירת שיטה

מצא את שורשי המחנה

מה עושים

נפתור את המשוואה x² - 4 = 0.

למה

נקודות שבהן הפונקציה לא מוגדרת הן שורשי המחנה.

נוסחה / הצבה

x^2 - 4 = 0(x-2)(x+2) = 0x^(2) - 4 = 0

שורשים הם 2 ו- -2

פתרון

מצא את נקודות אי-הגדרה

מה עושים

x=2 ו- x=-2 הם נקודות אי-הגדרה.

למה

הפונקציה אינה מוגדרת בנקודות אלו.

פתרון

חישוב גבולות סביב הנקודות

מה עושים

מנה ליד 2 ו- -2 הולכת לאינסוף, מאפיין אסימפטוטות אנכיות.

למה

גבול חיובי/שלילי גדול מציין אסימפטוטה משני הצדדים.

נוסחה / הצבה

lim x->2+ f(x) = ±∞lim x->2- f(x) = ±∞lim x→2⁺ f(x) = ±∞lim x→2⁻ f(x) = ±∞_x 2^(+) f(x) =

יש לבדוק סימני הגבולות.

תשובה

תחום ההגדרה והאסימפטוטות

מה עושים

תחום ההגדרה: כל x פרט ל-2 ו- -2. אסימפטוטות אנכיות בקווים x=2 ו- x=-2.

למה

המסיסים מעידים על נקודות אי-הגדרה עם אסימפטוטות.

פתרונות כלליים

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה: נמצא את מקטעי ההגדרה על ידי פתרון המשוואה x² - 4 = 0. כלומר, (x-2)(x+2) = 0 לכן x = 2 או x = -2. הפונקציה אינה מוגדרת בנקודות אלו, ולכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים חוץ מ-2 ו-(-2).
חשב את האסימפטוטות האנכיות: נחשב מתי המחנה מתאפס: x² - 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = 2 או x = -2. לכן, האסימפטוטות האנכיות הן בקווים x=2 ו-x=-2.
מצא את האסימפטוטה האופקית: דרגת המחנה היא 2 (x²), דרגת המונה היא 1 (x). מאחר שדרגת המחנה גבוהה מדרגת המונה, האסימפטוטה האופקית היא y=0.
חקירת תחום הגדרה, אסימפטוטות וחתכים לצירים: א. המחנה מתאפס כאשר x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 ⇒ x=2,3. תחום ההגדרה הוא כל x מלבד 2 ו-3. ב. נקודות אסימפטוטה אנכית: x=2 ו-x=3. ג. דרגת המחנה והמונה שווה (2). מקדמי החזקות הגבוהים הם 1 ו-1. לכן האסימפטוטה האופקית היא y=1. ד. חיתוך עם ציר y: הצב x=0, f(0) = (0 - 0 + 3)/(0 - 0 + 6) = 3/6=0.5. חיתוך עם ציר x: פתרון המונה f(x)=0 ⇒ x² -4x +3=0 ⇒ (x-3)(x-1)=0 ⇒ x=1,3. מכיוון ש-x=3 מחוץ לתחום ההגדרה, נקודה חוקית רק x=1. נקודת חיתוך: (1,0).

הפריט הקודם הפריט הבא

ג2. חקירת פונקצית מנה תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים

ניווט לפי נושאים

חקירה מלאה של פונקציה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה / אסימפטוטות אנכיות

נתון 1

הרעיון המרכזי

פונקציה נתונה עם מונה x² - 1 ומחנה x² - 4.

נבנה משוואה

x=2 ו- x=-2 הם נקודות אי-הגדרה.

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

פונקצית המנה

מצא את שורשי המחנה

מצא את נקודות אי-הגדרה

חישוב גבולות סביב הנקודות

תחום ההגדרה והאסימפטוטות

פתרונות כלליים