וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב5. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מתמקד בפתרון משוואות טריגונומטריות הכוללות ביטויים עם סינוס וקוסינוס, תוך שימוש בהוצאת גורם משותף, יצירת מכפלות, שיטת הצבה ושימוש במקרים מיוחדים מוכרים.
- להבין כיצד להוציא גורם משותף ממשוואה טריגונומטרית
- לזהות מתי וכיצד להשתמש בשיטת הצבה לפתרון משוואות טריגונומטריות
- לפתור משוואות עם סינוס וקוסינוס באמצעות פירוק למכפלות
- לזכור ולהשתמש במקרים מיוחדים לפתרון משוואות טריגונומטריות
- הוצאת גורם משותף ויצירת מכפלות: לימוד כיצד להוציא גורמים משותפים ממשוואות טריגונומטריות על מנת לפרק את המשוואה למכפלות ולפתור כל גורם בנפרד.
- שיטת הצבה: שימוש בשיטת הצבה להמרת משתנה טריגונומטרי למשתנה חדש כדי לעבד ולפתור משוואות מורכבות יותר.
- מקרים מיוחדים ותחום ההגדרה: זיהוי פתרונות מיוחדים כמו סינוס או קוסינוס השווים ל-0 או 1, וחשיבות בדיקת תחומי ההגדרה למניעת טעויות בפתרון.
תרגול קצר
פתרון משוואת סינוס פשוטה עם גורם משותף
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה סינוס בריבוע X + סינוס X קוסינוס X = 0.
רמז: הוצא גורם משותף סינוס X, פרק למכפלות ואז פתר כל אחד מהם בנפרד.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = πk או X = -π/4 + πk, כאשר k שלם.
נוציא גורם משותף: סינוס X (סינוס X + קוסינוס X) = 0.\nנפתור את שתי המשוואות:\n1. סינוס X = 0 \u2013 פתרונות הם X = πk\n2. סינוס X + קוסינוס X = 0 \u2013 נחלק בקוסינוס X (בבדיקה תחום) ונקבל טנגנס X = -1. הפתרונות הם X = -π/4 + πk.
פתרון משוואת סינוס בריבוע בפולינום
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה: שני סינוס בריבוע X - 3 סינוס X + 1 = 0.
רמז: הצב T = סינוס X, פתר משוואה ריבועית ב-T, ואז חזור ל-x.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = π/2 + 2πk, X = π/6 + 2πk, או X = 5π/6 + 2πk.
נעתיק: 2T² - 3T + 1 = 0.\nנשתמש בנוסחת שורשי משוואה ריבועית: Δ = 9 - 8 = 1.\nT = (3 ± 1)/4.\nלכן T1 = 1, T2 = 0.5.\nסינוס X = 1 => X = π/2 + 2πk.\nסינוס X = 0.5 => X = π/6 + 2πk או X = 5π/6 + 2πk.
דרך הפתרון
פתרון משוואה טריגונומטרית בסיסית
פירוק משוואה טריגונומטרית עם סינוס וקוסינוס
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערכי X שמקיימים את המשוואה
- נתון 1
נתון 1
סינוס בריבוע X + סינוס X קוסינוס X = 0 - רעיון
הרעיון המרכזי
הוצאת גורם משותף כדי לפרק למשוואות פשוטות, פתרון כל משוואה בנפרד.
- נוסחה
נוציא סינוס X כגורם משותף.
סינוס X כפול (סינוס X ועוד קוסינוס X) = 0 - משוואה
סינוס בריבוע X ועוד סינוס X קוסינוס X שווה לאפס.
סינוס בריבוע X ועוד סינוס X קוסינוס X שווה לאפס.
- פישוט
פתור סינוס X = 0 לקבלת קבוצת פתרונות.
פתור סינוס X = 0 לקבלת קבוצת פתרונות.
X = פאי כפול kx = k - תוצאה
מסיימים בתשובה
חלק בקוסינוס X ובצע שינוי משתנה לטנגנס X.
טנגנס X = מינוס 1x = -1 - בדיקה
בדיקה קצרה
- הוצאת גורם משותף במצבים טריגונומטריים
- שימוש בשיטת מכפלות לפתרון משוואות
- זהירות: זיהוי לא נכון של גורם משותף
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1בחירת שיטה
מטרת הפתרון
בחירת שיטה
מטרת הפתרון
מה עושים
למצוא את הערכים של X המקיימים את המשוואה.
למה
כדי לפתור משוואות טריגונומטריות חייבים לפרק ולהפשט.
אנו רוצים למצוא את כל הערכים של X שמקיימים את המשוואה הנתונה.
2זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
מה עושים
סינוס בריבוע X ועוד סינוס X קוסינוס X שווה לאפס.
למה
זו המשוואה שעלינו לפתור.
sin^2 X + sin X cos X = 0.
3בחירת שיטה
הוצאת גורם משותף
בחירת שיטה
הוצאת גורם משותף
מה עושים
נוציא סינוס X כגורם משותף.
למה
כדי לפרק את הביטוי למכפלות ולהקל על הפתרון.
sin X (sin X + cos X) = 0
נוסחה / הצבה
סינוס X כפול (סינוס X ועוד קוסינוס X) = 0הוצאת גורם משותף עוזרת לפיצול למשוואות פשוטות יותר.
4בניית משוואה
פירוק למכפלות
בניית משוואה
פירוק למכפלות
מה עושים
קבלנו שני גורמים: סינוס X והביטוי sin X + cos X.
למה
כפי שידוע: מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס.
sin X = 0 או sin X + cos X = 0
נוסחה / הצבה
סינוס X = 0 או סינוס X + קוסינוס X = 05פתרון
פתרון המשוואה הראשונה
פתרון
פתרון המשוואה הראשונה
מה עושים
פתור סינוס X = 0 לקבלת קבוצת פתרונות.
למה
פונקצית הסינוס שווה לאפס עבור כפולות π.
X = πk, כאשר k number{Z}
נוסחה / הצבה
X = פאי כפול kx = kk הוא מספר שלם.
6פתרון
פתרון sin X + cos X = 0
פתרון
פתרון sin X + cos X = 0
מה עושים
חלק בקוסינוס X ובצע שינוי משתנה לטנגנס X.
למה
החלוקה תוביל למשוואה פשוטה ב tan X
sin X / cos X = -1 \Rightarrow tan X = -1
נוסחה / הצבה
טנגנס X = מינוס 1x = -1יש לזכור לבדוק תחום הגדרה לאחר חלוקה.
פתרונות כלליים
- פתרון משוואת סינוס פשוטה עם גורם משותף: נוציא גורם משותף: סינוס X (סינוס X + קוסינוס X) = 0.\nנפתור את שתי המשוואות:\n1. סינוס X = 0 \u2013 פתרונות הם X = πk\n2. סינוס X + קוסינוס X = 0 \u2013 נחלק בקוסינוס X (בבדיקה תחום) ונקבל טנגנס X = -1. הפתרונות הם X = -π/4 + πk.
- פתרון משוואת סינוס בריבוע בפולינום: נעתיק: 2T² - 3T + 1 = 0.\nנשתמש בנוסחת שורשי משוואה ריבועית: Δ = 9 - 8 = 1.\nT = (3 ± 1)/4.\nלכן T1 = 1, T2 = 0.5.\nסינוס X = 1 => X = π/2 + 2πk.\nסינוס X = 0.5 => X = π/6 + 2πk או X = 5π/6 + 2πk.